Ensino Médio ⇒ Álgebra - Par Ordenado Tópico resolvido

[menelaus]

Se o par ordenado ( x , y ) de inteiros positivos é a solução da equação x³ - y³ = xy + 61 podemos afirmar que x + y é igual a :

a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15

OBS : Não sei a resposta.

[edu_landim]

Perceba que

[tex3](x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\\
\Leftrightarrow (x-y)^3 = x^3 - y^3 -3xy (x - y)\\
\Leftrightarrow (x-y)^3 + 3xy (x-y) = x^3 - y^3[/tex3]

Deste modo a equação fica [tex3](x-y)^3 + 3xy (x-y) = xy + 61\,\,\,(I)[/tex3]

Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são inteiros positivos, temos [tex3]xy + 61 >0[/tex3] e portanto [tex3]x^3 - y^3 >0[/tex3], de onde concluímos que [tex3]x>y[/tex3].

Assim temos

[tex3]x - y \geq 1\\
\Leftrightarrow 3xy(x - y) \geq 3xy > xy[/tex3]

de onde temos [tex3](x-y)^3 < 61[/tex3], restando assim apenas os casos:

[tex3](i)\,\,x - y = 1[/tex3]
[tex3](ii)\,\,x - y = 2[/tex3]
[tex3](ii)\,\,x-y = 3[/tex3]

Supondo [tex3]x-y=1[/tex3] substituindo em [tex3](I)[/tex3] temos [tex3]1 + 3xy = xy + 61 \Leftrightarrow 2xy = 60[/tex3]. De onde temos [tex3]x = 6[/tex3] e [tex3]y=5[/tex3] e portanto [tex3]x + y = 11[/tex3].

Nos dois outros casos, não teremos inteiros [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] positivos.