Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Menor Determinação Positiva

[Liu12]

Calcule a [tex3]1[/tex3] ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a [tex3]\frac {23\pi}{4} \text{rad}[/tex3].

Como faço?

[Karl Weierstrass]

Aí vai uma regrinha básica.

Divida [tex3]23[/tex3] pelo dobro do denominador. [tex3]23[/tex3] dividido por [tex3]8[/tex3] produz quociente [tex3]2[/tex3] e resto [tex3]7[/tex3]. Multiplique o resto por [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] para encontrar a primeira determinação positiva, isto é, [tex3]\frac{7\pi}{4}[/tex3].

Equação dos arcos côngruos:

[tex3]\hspace{70pt}\alpha\,=\,\alpha_0\,+\,2k\pi[/tex3],

onde [tex3]\alpha_0[/tex3] é a menor determinação positiva.

Logo,

[tex3]\hspace{70pt}\alpha=\frac{7\pi}{4}\,+\,2k\pi[/tex3]

Abraço.




[tex3]\,[/tex3]

[Babi123]

Qual a justificativa teórica para usar essa "dica" ?
Existe uma maneira mais direta/"eficiente" para obter arcos côngruos?

[csmarceloMOD]

Até compreendi o raciocínio, mas acho mais simples fazer o seguinte:

Se [tex3]\frac{a\pi}{b}[/tex3], [tex3]a[/tex3] natural e [tex3]b[/tex3] inteiro positivo, é o ângulo para o qual queremos encontrar a primeira determinação positiva, basta encontrar o maior valor natural [tex3]2bk\leq a[/tex3].

Dessa forma, a primeira determinação positiva será igual a [tex3]\frac{(a-2bk)\pi}{b}[/tex3].

No exemplo dado, queremos o maior valor da forma [tex3]8k[/tex3] menor que 23. Esse número é o 16. Assim, a primeira determinação positiva é [tex3]\frac{(23-16)\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}[/tex3].

Demonstração:

Seja [tex3]\frac{a\pi}{b}[/tex3], [tex3]a[/tex3] natural e [tex3]b[/tex3] inteiros positivos, o ângulo para o qual queremos determinar a primeira determinação positiva.

Queremos [tex3]\frac{a'\pi}{b}[/tex3] tal que [tex3]\frac{a\pi}{b}=2k\pi+\frac{a'\pi}{b}[/tex3], com [tex3]a'[/tex3] natural e o menor possível e [tex3]k[/tex3] natural.

[tex3]\frac{a\pi}{b}=2k\pi+\frac{a'\pi}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{a\pi}{b}=\frac{2bk\pi+a'\pi}{b}[/tex3]

[tex3]a\pi=2bk\pi+a'\pi[/tex3]

[tex3]a'\pi=a\pi-2bk\pi[/tex3]

[tex3]a'=a-2bk[/tex3]

Se [tex3]a'[/tex3] é natural e o menor possível, então [tex3]2bk\leq a[/tex3] deve ser o maior possível.