Ensino Médio ⇒ Simplificar expressão trigonométrica Tópico resolvido

[jah]

De quais formas posso simplificar esta expressão: tg(x/2)+cotg(x/2)

[jrneliodias]

Olá, Jah.

Bem. Podemos abrir nas razões de seno e cosseno:
[tex3]\tan \left(\frac{\pi}{2}\right)+\cot \left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)}+\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}[/tex3]

Aplicamos a soma de frações: [tex3]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d\,+\,c\cdot b}{b\cdot d}[/tex3]

[tex3]\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)}+\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)\,+\cos^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}[/tex3]

Sabemos que [tex3]\sin^2 a\,+\cos^2 a=1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos a\cdot \sin a=\frac{1}{2}\,\sin 2a[/tex3]. Logo:

[tex3]\frac{\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)\,+\cos^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1}{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}\,\sin a }=\boxed{2\,\csc a}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.