Ensino Médio ⇒ As Dimensões do Passeio

[olgario]

Terreno.jpg (37.49 KiB) Exibido 1337 vezes

No centro de um terreno rectangular de [tex3]30 m[/tex3] por [tex3]18 m[/tex3] comstruiu-se um jardim.
À volta dele e sempre com a mesma largura fez-se um passeio de área total de [tex3]176 m^2[/tex3].
Qual é a largura do passeio ?

Atenciosamente
olgario

[emanuel9393MOD]

Olá, olgário!


Veja:


[tex3]A_{terreno} \, - \, A_{jardim} \, = \, 176 \\ 30 \, \cdot \, 18 \, - \, \left(30 \, - \, 2l\right) \left(18 \, - \, 2l\right) \, = \, 176 \\ 540 \, - \, \left(540 \, - \, 60l \, - \, 36l \, + \, 4l^{2}\right) \, = \, 176 \\ \cancel{540} \, - \, \cancel{540} \, + \, 60l \, + \, 36l \, - \, 4l^{2} \, = \, 176 \\ 4l^{2} \, - \, 96l \, + \, 176 \, = \, 0[/tex3]


Resolvendo a equação quadrática, você encontra somente como valor conveniente:



[tex3]\boxed{\boxed{l \, = \, 2,0 \,\,\, m}}[/tex3]

Um abraço!

[olgario]

Terreno (2).jpg (27.31 KiB) Exibido 1326 vezes

Olá, emanuel9393 !

Uma análise atenta da sua resolução do problema, levou-me à construção deste 2º desenho, e com base nele entender a construção da equação, que para mim estava um pouco difícil de entender, logo de equacionar.

Mas agora entendi:

(a Área do terreno)[tex3]\,-\,[[/tex3] (o Comprimento do mesmo)[tex3]\,-\,(2\,\times\,[/tex3] a Largura do Passeio [tex3])\;\times\;[/tex3]
[tex3]\times\;[/tex3] (a Largura do mesmo)[tex3]\,-\,(2\,\times\,[/tex3] (a Largura do Passeio [tex3])] [[/tex3] Área do jardim [tex3]] \,=\,[/tex3] (à Área do Passeio).

[tex3]\;(30\times18)[/tex3]
[tex3]\underbrace{540}_\text{Area do terreno}-\underbrace{(30-2l)\,\times\,(18-2l)}_\text{Area do jardim}=\underbrace{176}_\text{Area do passeio}[/tex3]

Resolvendo a equação de 2º grau chegamos ao resultado :

[tex3]l\,=\,2\;\,[/tex3] ou [tex3]\;\,l \,=\,22[/tex3]

A 2ª solução está fora de questão, pois (22+22) = 44, que seria maior que a largura do terreno que é 30. E maior que o comprimento que é 18. Logo,a solução só pode ser = 2.

Obrigado pela ajuda.

Um abraço

[emanuel9393MOD]

Olá, Olgário!


Realmente, esqueci de explicar quem era [tex3]l[/tex3] e de expressar o meu raciocínio. Me perdoe.



Um abraço e até a próxima!

[olgario]

Eu entendi o que era o [tex3]l[/tex3].O que era, ou aliás, é, a largura do passeio.

Mas há uma coisa que entretanto estive analizando que é o seguinte:
Se a equação para a área do jardim é dada por: [tex3](30-2l)\times(18-2l)\,\rightarrow\,(30-2.2)\times(18-2.2)\,\rightarrow\,(30-4)\times(18-4)\,\rightarrow\,26\times14\,=\,364 m^2[/tex3],e se a área total do passeio é de [tex3]176 m^2[/tex3], então somando estes [tex3]\,2\,[/tex3] valores obtemos a área total do terreno.[tex3]\,364 m^2\,+\,176 m^2\,=\,540 m^2[/tex3].
Isto quer dizer, que todo o terreno é constituido pelo jardim ao centro, e pelo passeio em em toda sua volta, não restando mais qualquer espaço. Não era desta forma que eu estava entrepertando o desenho do livro de onde tirei o problema.
Eu estava entrepretando o passeio em volta do jardim como a faixa de "cor de terra batida" em redor do rectângulo central que contem os arbustos, e assim, ainda me sobrava toda a outra faixa a verde até aos extremos do terreno (isto em relação ao desenho feito na 1ª postagem, pois é esse que está colorido).
Mas pelos vistos, a faixa de "cor térrea" que eu considerava como sendo o dito passeio, possivelmente para o autor do livro e do desenho, faz parte do jardim, e está integrado nos [tex3]\;364 m^2\,,[/tex3] e o passeio de [tex3]\,2 m\,[/tex3] de largura,deve ser a a tal faixa a verde até aos extemos do terreno. Só pode ser. Só assim se justifica, que a soma da área do jardim, com área do passeio dê o total da área do terreno.
Você concerteza intrepertou logo assim.
Eu entrepertei doutro modo. Daí, eu ter dificuldade em entender o problema.
Eu entrepertava um terreno com [tex3]18[/tex3] por [tex3]30[/tex3], com um jardim central, um passeio a toda a volta a faixa rectângular a castanho, e pensava que ainda sobrava terreno, até às extremidades do dito terreno.
Ao fazer o 2º desenho, embora tivesse entendido a construção da equação do problema, continuei equivocado em relação ao desenho,pois continuei a considerar o passeio como sendo a faixa rectângular de cor castanha em volta do rectângulo central com os arbustos. Dai, neste 2º desenho, eu ter designado a largura dessa faixa com a variável [tex3]l[/tex3].

Entendeu ?

Acho que agora acertei. Ou não ?

Terreno (3).jpg (32.34 KiB) Exibido 1317 vezes

[Mat3matic0]

Aí, pessoal existe uma outra forma mais simples de calcular isso : Sabendo que tem 4 quadrados resulta da sua area=4l² tem 2 rectangulos resulta da sua área, como estou vendo neste exercicio eles dizem da largura constante, entao A= 60.l e o memso para o outro A= 72.l, e diz que a área é dada por 176, podemos formar uma equaçao que é a equaçao que tem ai acima, Olgario vi a tua nova representaçao do problema(esquematizada) e conclui nisso.. Da forma que voces fizeram esta muito correcto,correctissimo mesmo, mais existe usuarios que podem nao perceber como a matemática foi parar ai, entao fiz de uma forma mais simples que é essa. Valeu caras, Força na ciencia!!! A matemática é bonita porque existe várias formas de chegar a sua soluçao