Pré-Vestibular ⇒ (República de Moçambique - 2009) Condições de uma Expressão Tópico resolvido

[Mat3matic0]

Expressão analítica: Para cada m [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3], considere definida uma função g, de domínio [tex3]\mathbb{R}[/tex3], pela seguinte expressão analítica:

[tex3]G(x)=\frac{1}{2}x^{2}-(2m+3)x+3m^{2}+\frac{1}{2}m-2[/tex3]

Determine o conjunto de valores de m de forma que admita dois zeros diferentes/contrários sendo o de maior valor absoluto o negativo.

[Mat3matic0]

Nao estou conseguindo chegar na solu;cao... Ajuda por favoorr..

[PedroCunha]

Penso o seguinte:

Para termos duas raízes diferentes, de sinais opostos, sendo a negativa de maior valor absoluto, é necessário que tenhamos a soma das raízes < 0 e o produto das raízes < 0 também.

Aplicando isso, matematicamente:

[tex3]S = -\frac{b}{a} < 0 \therefore -\(\frac{(2m + 3)}{\frac{1}{2}}\) < 0 \therefore - (4m + 6) > 0 \,\,\,\, (-1) \therefore 4m + 6 >0 \therefore 4m > -6 \therefore \boxed{m > -\frac{3}{2} \,\, (I)}

\\\\

P = \frac{c}{a} < 0 \therefore \frac{(3m^2 + \frac{1}{2}m - 2)}{\frac{1}{2}} < 0 \therefore \boxed{6m^2 + m - 4 < 0 \,\, (II)}

\\\\

Resolvendo \,\, II:

\\\\\\\

\boxed{x_1 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{12} \,\, (III)} \,\, e \,\, \boxed{x_2 = \frac{-1 - \sqrt{97}}{12} \,\, (IV)}

\\\\\\

Fazendo \,\, a \,\, interseccao \,\, entre \,\, I, \,\, III \,\, e \,\, IV:

\\\\

\boxed{\boxed{\frac{-1 - \sqrt{97}}{12} < m < \frac{-1 + \sqrt{97}}{12}}}[/tex3]

Dei uma pesquisada e esse parece ser o resultado correto.

Att.,
Pedro

[Mat3matic0]

Como voce consegue do Google? Preciso aprender essa, mas contudo obrigado! É essa mesma a soluçao:) Valeu ai! já reparei onde eu estava falhando, eu estava falhando ao considerar o valor de c, eu apenas punha o valor de c como sendo o 3m², enquanto que corresponde toda aquela expressao, Obrigado mais uma vez! Aperfeiçoando-me mais:)

[PedroCunha]

Eu digito uma parte do enunciado no Google.

Fico feliz que esteja certo.

Att.,
Pedro

[Mat3matic0]

Mais, se diz que os zeros tenham sinais contrarios, com o [tex3]\Delta[/tex3] ele já está formada, corresponde a aquela toda expressao, entao recorremos ao produto e a soma, neste caso quanto ao produto se temos que o P(produto)=[tex3]\frac {c}{a}<0[/tex3] pois se temos [tex3]P=x_{1}.x{2}[/tex3] um número negativo e um positivo(multiplicando ambos) dará num negativo, sendo menor que zero, por essa razao surgi essa condiçao, agora se formos a tratar da soma temos que [tex3]S=-\frac{b}{a}=0[/tex3] pois se temos [tex3]S=x_{1}+x_{2}[/tex3] um número negativo e um positivo dará em 0, isto é consideremos [tex3]x_{1}=3 x_{2}=-3[/tex3] fazendo a soma dará igual a 0, notando que só é aceitavel se pedissem que tivessem zeros/raizes simétricas, está condiçao seria indispensavel. A outra parte do exercicio diz que tenha zeros diferentes, sendo o de maior valor absoluto o negativo, entao com base na sua explicaçao, eu conclui que: se diz o maior valor absoluto o negativo está tentar dizer que, se nós mentalmente fizermos a soma das suas raizes, considerando [tex3]x_{1}=-4 x_{2}=3[/tex3] entre as suas somas devirá existir um número negativo que seja o maior valor absoluto, neste caso dará num número negativo, (-1) menor que zero, logo [tex3]S<0[/tex3] e o produto tambem [tex3]P<0[/tex3]. Muito Obrigado , foi graças a si meu amigo Pedro que eu agora sei formar condiçoes(notando que nem sempre usamos o produto e a soma, tambem existe a condiçao do binómio disciminante o tal-[tex3]\Delta[/tex3] ).Se estou em erro peço que me corrija

[PedroCunha]

Está de todo correto correto meu amigo,


Fico feliz em tê-lo ajudado.

Att.,
Pedro