Pré-Vestibular ⇒ GEOMETRIA ESPACIAL Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Numa pirâmide triangular V - ABC, a base ABC é um triângulo eqüilátero e as arestas VA, VB e VC formam um triedro tri-retângulo. A tangente do ângulo diedro formado por uma face lateral com a base é:
RESPOSTA: [tex3]\sqrt2[/tex3]

[fabit]

A face VAB, por exemplo, é um triângulo retângulo isósceles, para o qual chamarei os catetos VA e VB de [tex3]l[/tex3], e portanto AB=[tex3]l\sqrt{2}[/tex3]. Traçando a altura desta face (que é o chamado apótema da pirâmide), ficamos com VM=AB/2=[tex3]\frac{l\sqrt{2}}{2}[/tex3] onde M é o ponto médio de AB.

Já na base ABC, que é um triângulo equilátero de lado AB=[tex3]l\sqrt{2}[/tex3], a projeção de V é o centro O. Como nossa tarefa é calcular a [tex3]\tan{VMO}=\frac{VO}{OM}[/tex3], começamos com OM=[tex3]\frac{\(l\sqrt{2}\)\sqrt{3}}{6}=\frac{l\sqrt{6}}{6}[/tex3] e obtemos VO com Pitágoras [tex3]VM^2=VO^2+OM^2[/tex3].

[tex3]\frac{l^2}{2}=VO^2+\frac{l^2}{6}[/tex3]. Dividindo por OM^2:

[tex3]\frac{l^2}{2}\times\frac{6}{l^2}=\frac{VO^2}{OM^2}+1\Rightarrow3-1=\(\frac{VO}{OM}\)^2\Rightarrow\tan{VMO}=\sqrt{2}[/tex3]

Abraço

[mvgcsdf]

Obrigado pela força e pela atenção, Fabit.
Só não entendi esta passagem: como vc descobriu que AB = L [tex3]\sqrt2[/tex3]? Por ser a face VAB um triângulo retângulo isósceles, necessariamente o ângulo é de 45°?
Agradeceria muito se vc pudesse esclarecer.
Abração!!

[fabit]

Sim, sempre. O triângulo retângulo isósceles (que invariavelmente me lembra de um misto-quente cortado à maneira tradicional: passando a faca na diagonal do pão de fôrma) é metade de um quadrado, certo? Ao cortar o quadrado você está traçando bissetrizes e aí pronto! 90 graus divididos por 2 = 45 graus.

Outra forma de ver é chamar de x os ângulos agudos. Se a soma dos três internos é 180 graus, fica x + x + 90 = 180. Aí 2x=180-90. x=45.

Abraço

[mvgcsdf]

Agora 100% redondinho!!!
Acabei conseguindo resolver por outro método, que chegou ao mesmo resultado.
Mas a sua resolução está mais direta.
Obrigado por tudo mais uma vez!!!
Abração!!