Ensino Médio ⇒ Desigualdade Triangular Tópico resolvido

[poti]

Para que valores reais de [tex3]k[/tex3] os números [tex3]21, 28[/tex3] e [tex3]2k^2 - 1[/tex3] são medidas dos lados de um triângulo ?

Gabarito:

Resposta

---

2 < k < 5 ou -5 < k < -2

[PedroCunha]

Vamos lá:

Chamemos:

[tex3]\begin{cases}
\displaystyle 21 = a \\
\displaystyle 28 = b \\
\displaystyle 2k^2 -1 = c\\
\end{cases}[/tex3]

Sendo assim, temos:

[tex3]\begin{cases}
\displaystyle | b - c | < a < b + c \therefore |28 - (2k^2 -1) | < 21 < 28 + (2k^2 + 1) (I)\\
\displaystyle | a - c | < b < a + c \therefore |21 - (2k^2 - 1) | < 28 < 21 + (2k^2 + 1) (II)\\
\displaystyle | a - b | < c < a + b \therefore |21 - 28| < 2k^2-1 < 21 + 28 (III) \\
\end{cases}[/tex3]

Manipulando [tex3]III[/tex3]:

[tex3]|21 - 28| < 2k^2-1 < 21 + 28 \therefore \\ 7 < 2k^2 - 1 < 49 \,\,\, (+1) \therefore 8 < 2k^2 < 50 \,\,\,(\div 2) \therefore 4 < k^2 < 25 \,\,\, (\sqrt) \therefore \pm 2 < k < \pm5,
\\\\

\boxed{\boxed{2 < k < 5 \,\,\,\, ou \,\,\,\, -5 < k < -2}}[/tex3]

Penso que seja isso.

Att.,
Pedro