Ensino Superior ⇒ Convergência Absoluta Tópico resolvido

[Isabella]

Oie Amiguinhos.


Para determinar a convergência dessa série. Utilizo o teste da raiz ou da razão?

[tex3]\sum_{n=0}^{\infty }\ \ (-1)^n\ \frac{n^2+4}{2^n}[/tex3]

Agradecida pela ajuda



Bjinhos

[danmat]

Olá Isabella,

Neste caso você pode utilizar os dois critérios e concluir em ambos os casos que a série é divergente:

[tex3]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{n^2+4}{2^n}[/tex3]

Utilizando o teste da razão:

[tex3]a_{n+1} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{(n+1)^2 + 4}{2^{n+1}}[/tex3]

[tex3]a_n = (-1)^n \cdot \frac{n^2 +4}{2^n}[/tex3]

Dessa forma temos:

[tex3]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{-[(n+1)^2+4]}{2 \cdot (n^2+4)}[/tex3]

Assim temos


[tex3]\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{-[(n+1)^2+4]}{2 \cdot (n^2+4)}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{[(n+1)^2+4]}{2 \cdot (n^2+4)}\right|[/tex3]

Facilmente você conclui que se trata de uma indeterminação do tipo [tex3]\frac{\infty}{\infty}[/tex3], daí aplicando L'Hôpital duas vezes, temos

[tex3]\lim_{n \to \infty} \frac{[(n+1)^2+4]}{2 \cdot (n^2+4)} = \frac{1}{2}[/tex3]

Pelo critério, você conlui que a série é divergente.

Se você utilizar o teste da raiz será bem mais trabalhoso, pois você recairá numa indeterminação do tipo [tex3]\infty^\infty[/tex3] e além disso você ainda recaíra no caso em que [tex3]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}[/tex3] não existe e terá que trabalhar com a definição [tex3]k = \lim_{n \to \infty} sup\{\sqrt[n]{|a_n|}\}[/tex3] e se [tex3]k < 1[/tex3] a série será absolutamente convergente.

Abraços!

[danmat]

Olá Isabella,

Correção: na mensagem anterior onde está escrito divergente leia absolutamente convergente.

Falha minha!

Abraço!

[Isabella]

Oie danmat

Adorei sua resolução..

Mas como eu não sou boa em aplicar L'Hôpital,teria a possibilidade de vc mostrar essa resolução?

Fico muita agradecida pela ajuda e compreensão amiguinho.

Facilmente você conclui que se trata de uma indeterminação do tipo [tex3]\frac{\infty}{\infty}[/tex3], daí aplicando L'Hôpital duas vezes, temos

Bjinhos...