Ensino Médio ⇒ Grandezas Diretamente Porporcionais: Volume x Tempo Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Quatro torneiras [tex3]A,B,C,D,[/tex3] sendo que [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] enchem um tanque em [tex3]15[/tex3] horas, [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]D[/tex3] enchem o tanque em [tex3]20[/tex3] horas, [tex3]A,C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] enchem em [tex3]30[/tex3] e [tex3]B,C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] enchem o tanque em [tex3]60[/tex3] horas. Em quantas horas o tanque é cheio, alimentado por todas as torneiras juntas?

[Thales Gheós]

Estabelecendo um conceito:

Se uma torneira enche um tanque em [tex3]15[/tex3] horas e uma outra faz o mesmo serviço em [tex3]7,5[/tex3] horas, em quanto tempo encherão o tanque operando juntas?

vamos falar em vazões em termos do volume do tanque:

[tex3]V_1=\frac{1}{15}[/tex3]
[tex3]V_2=\frac{1}{7,5}[/tex3]
[tex3]V_1+V_2=\frac{1}{15}+\frac{2}{15}[/tex3]
logo [tex3]V_1+V_2=\frac{1}{5}[/tex3] e o tempo procurado é de [tex3]5[/tex3] horas

Agora vamos ao seu problema:

[tex3]A+B+C=\frac{1}{15}\rightarrow [/tex3] (1)

[tex3]A+B+D=\frac{1}{20}\rightarrow [/tex3] (2)

[tex3]A+C+D=\frac{1}{30}\rightarrow [/tex3] (3)

[tex3]B+C+D=\frac{1}{60}\rightarrow [/tex3] (4)

de (1) e (2) tiramos duas equações:

[tex3]A+B=\frac{1}{15}-C[/tex3] e [tex3]A+B=\frac{1}{20}-D[/tex3]

somaremos agora (3) e (4):

[tex3]A+B+2C+2D=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}[/tex3] façamos as substituições convenientes:

[tex3]\frac{1}{15}-C+2C+2D=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}[/tex3]

[tex3]C+2D=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}-\frac{1}{15}[/tex3]

[tex3]C+2D=-\frac{1}{60}[/tex3] (5)

[tex3]\frac{1}{20}-D+2C+2D=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}[/tex3]

[tex3]2C+D=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}-\frac{1}{20}[/tex3]

[tex3]2C+D=0[/tex3] (6) isto já é um alerta pois mostra que uma vazão deve ser negativa

De fato. Resolvendo o sistema em [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] que obtivemos, encontramos [tex3]\text C=\frac{1}{60}[/tex3] e [tex3]D=-\frac{1}{30}[/tex3] o que é incongruente, isto é, vazão negativa

Acho que não é necessário prosseguir. Penso que o enunciado contém erro.

[paulo testoniMOD]

Hola Thales.

Agradeço a sua resolução e parabenizo o amigo pelas suas ótimas colocações.

veja outra solução:

Vamos demonstrar mais adiante que este enunciado, além de capcioso, está errado.

Sejam:

[tex3]V[/tex3] o volume do tanque (em [tex3]\text{m}^3[/tex3])
[tex3]T_a,[/tex3] [tex3]T_b,[/tex3] [tex3]T_c,[/tex3] [tex3]T_d[/tex3] os tempos individuais de enchimento de cada torneira (em [tex3]\text{h}[/tex3])
[tex3]Q_a,[/tex3] [tex3]Q_b,[/tex3] [tex3]Q_c,[/tex3] [tex3]Q_d[/tex3] as vazões individuais de enchimento de cada torneira (em [tex3]\text{m}^3/\text{h}[/tex3])

Podemos escrever: [tex3]Q_a = \frac{V}{T_a},[/tex3] [tex3]Q_b = \frac{V}{T_b},[/tex3] [tex3]Q_c = \frac{V}{T_c},[/tex3] [tex3]Q_d = \frac{V}{T_d}[/tex3]

[tex3]Q_a+Q_b+Q_c = \frac{V}{15} \Longrightarrow \frac{V}{T_a} + \frac{V}{T_b} + \frac{V}{T_c} = \frac{V}{15} \Longrightarrow \frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_c} = \frac{1}{15} \\
Q_a+Q_b+Q_d = \frac{V}{20} \Longrightarrow \frac{V}{T_a} + \frac{V}{T_b} + \frac{V}{T_d} = \frac{V}{20} \Longrightarrow \frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_d} = \frac{1}{20} \\
Q_a+Q_c+Q_d = \frac{V}{30} \Longrightarrow \frac{V}{T_a} + \frac{V}{T_c} + \frac{V}{T_d} = \frac{V}{30} \Longrightarrow \frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_c} + \frac{1}{T_d} = \frac{1}{30} \\
Q_b+Q_c+Q_d = \frac{V}{60} \Longrightarrow \frac{V}{T_b} + \frac{V}{T_c} + \frac{V}{T_d} = \frac{V}{60} \Longrightarrow \frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_c} + \frac{1}{T_d} = \frac{1}{60}[/tex3]

Somando as [tex3]4[/tex3] equações:

[tex3]\frac{3}{T_a} + \frac{3}{T_b} + \frac{3}{T_c} + \frac{3}{T_d} = \frac{1}{15} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60}[/tex3]

[tex3]3\cdot \left(\frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_c} + \frac{1}{T_d}\right) = \frac{1}{6}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_c} + \frac{1}{T_d} = \frac{1}{18} \Longrightarrow[/tex3] Multiplicando por [tex3]V[/tex3]:

[tex3]\frac{V}{T_a} + \frac{V}{T_b} + \frac{V}{T_c} + \frac{V}{T_d} = \frac{V}{18}[/tex3]

[tex3]Q_a + Q_b + Q_c + Q_d = \frac{1}{18}[/tex3]

Logo as [tex3]4[/tex3] torneiras juntas enchem o tanque em [tex3]18[/tex3] horas.

À primeira vista esta solução parece absurda: Se [tex3]A, B, C[/tex3] enchem o tanque em [tex3]15[/tex3] horas, acrescentando a torneira [tex3]D[/tex3] o tempo de enchimento deveria ser menor do que [tex3]15[/tex3] horas!

Isto só seria verdade se a torneira [tex3]D[/tex3] ajudasse a encher o tanque, isto é se a vazão [tex3]Q_d[/tex3] fosse positiva.
Entretanto, se a torneira [tex3]D[/tex3] esvaziar o tanque, isto é se [tex3]D[/tex3] for uma torneira de drenagem, teremos a vazão [tex3]Q_d[/tex3] negativa.

Vamos portanto provar que [tex3]Q_d[/tex3] é negativa:

[tex3]\frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_c} = \frac{1}{15} \Longrightarrow[/tex3] equação I
[tex3]\frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_d} = \frac{1}{20} \Longrightarrow[/tex3] equação II
[tex3]\frac{1}{T_a} + \frac{1}{T_c} + \frac{1}{T_d} = \frac{1}{30} \Longrightarrow[/tex3] equação III
[tex3]\frac{1}{T_b} + \frac{1}{T_c} + \frac{1}{T_d} = \frac{1}{60} \Longrightarrow[/tex3] equação IV

I [tex3]{-}[/tex3] II [tex3]\Longrightarrow \frac{1}{T_c} - \frac{1}{T_d} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \Longrightarrow \frac{1}{T_c} = \frac{1}{T_d} + \frac{1}{60}[/tex3]
I [tex3]{-}[/tex3] III [tex3]\Longrightarrow \frac{1}{T_b} - \frac{1}{T_d} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} \Longrightarrow \frac{1}{T_b} = \frac{1}{T_d} + \frac{2}{60}[/tex3]
I [tex3]{-}[/tex3] IV [tex3]\Longrightarrow \frac{1}{T_a} - \frac{1}{T_d} = \frac{1}{15} - \frac{1}{60} \Longrightarrow \frac{1}{T_a} = \frac{1}{T_d }+ \frac{3}{60}[/tex3]

Substituindo estes valores na equação I:

[tex3]\frac{1}{T_d} + \frac{3}{60} + \frac{1}{T_d} +\frac{2}{60} + \frac{1}{T_d }+ \frac{1}{60} = \frac{1}{15}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{T_d} + \frac{6}{60} = \frac{4}{60} \Longrightarrow \frac{3}{T_d} = - \frac{2}{60} \Longrightarrow \frac{1}{T_d} = - \frac{1}{90}[/tex3]

Multiplicando por [tex3]V \Longrightarrow \frac{V}{T_d} = - \frac{V}{90} \Longrightarrow Q_d = - \frac{V}{90} \Longrightarrow T_d = 90[/tex3]

Isto significa que [tex3]D[/tex3] é uma torneira de drenagem (vazão negativa) e que [tex3]D[/tex3] esvaziaria sozinha o tanque cheio em [tex3]90[/tex3] horas.

Logo a resposta [tex3]18[/tex3] horas é perfeitamente coerente.

Logo, o enunciado está errado ao perguntar: Em quantas horas o tanque é cheio, alimentado por todas as torneiras juntas?

O motivo é que a palavra "alimentado" não se aplica a todas as [tex3]4[/tex3] torneiras, já que, neste caso, alimentar significa vazão positiva.

A pergunta correta deveria ser: Em quantas horas o tanque ficará cheio com todas as torneiras abertas juntas?

Neste caso o problema seria apenas capcioso ao não especificar claramente que uma das torneiras é de drenagem.

Resolução do Prof. Elcio Fonseca.