Pré-Vestibular ⇒ (República de Moçambique - 2010) Inequaçao Exponencial

[Mat3matic0]

Considere as funçoes [tex3]f(x)=2^{-x}[/tex3] e [tex3]g(x)= -x^{2}-2x+1[/tex3].
Para que valores [tex3]f(x)<g(x)[/tex3]:

a) ]-1, 2];
b)[1, 2];
c)[-1, 0[;
d){-1, 0}
e)]-1, 0[;
f) N.D.A

Resposta

---

A opçao correcta seria a alinea e)-X [tex3]\in ]-1, 0[[/tex3]

[PedroB]

Tentei fazer mas não consegui. Mas acho que o caminho é substituir em F < G por [tex3]2^{-x}[/tex3] < [tex3]-x^{2}[/tex3] -2x + 1 e resolver o sistema.

[Mat3matic0]

Isso eu sei amigo, só que a minha dificuldade está no outro lado! Como desenvolver?! Aí é que está!

[manerinhu]

talvez saia por gráfico...

[PedroB]

Verdade, tenta fazer o grafico da parabolá e da hiperbole e ve apartir de onde a desigualdade se torna verdadadeira.

[emanuel9393MOD]

Olá, Pessoal!
Eu fiz o seguinte:
---------------------------------------------------
[tex3]f\left(x\right) \, < \, g \left(x \, \right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 2^{-x} \, < \, - x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, -x \, < \, \log_{2} \left(-x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1\right)[/tex3]
Sejam as funções [tex3]h\left(x \right) \, = \, -x[/tex3] e [tex3]i\left(x\right) \, = \, \log_{2} \left(-x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1\right)[/tex3].
Para que [tex3]i \left(x\right)[/tex3] seja definida, devemos ter [tex3]-x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1 \, > \, 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, -1 \, - \, \sqrt{2} \, < \, x \, < \, -1 \, + \, \sqrt{2}[/tex3]. Não precisa montar gráfico nenhum (apenas se você quiser visualizar mesmo). Basta observar que todos os pontos de [tex3]h\left(x\right)[/tex3] ou estão no segundo quadrante ou estão no quarto quadrante (obviamente não existe nenhum ponto dessa função no primeiro quadrante). Observe também que o ponto [tex3](0,0)[/tex3] é um ponto de intersecção de [tex3]h\left(x\right)[/tex3] e [tex3]i \left(x\right)[/tex3]. Uma vez que [tex3]i\left(x\right)[/tex3] é crescente, todos as abcissas maiores que [tex3]0[/tex3] leva a [tex3]i\left(x\right) > \, h\left(x\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, f\left(x\right) \, < \, g\left(x\right)[/tex3]. Logo, todas essas informações nos fazem concluir que:

[tex3]f\left(x\right) \, < \, g\left(x\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{0 \, < \, x \, < \, -1 \, + \, \sqrt{2}}}[/tex3]

Grande abraço!

[PedroB]

Oque significa a resposta ]-1, 0[ então?

[Cássio]

O gabarito está correto.

fig.png (14.32 KiB) Exibido 1095 vezes

[PedroB]

Mas então a resposta do manuel está errada? Acho que o único jeito de resolver esse exercício deve ser por gráfico mesmo...

[Cássio]

Eu estava pensando qual seria o erro dele. Acho que tenha sido a implicação que ele usou:

[tex3]2^{-x}< -x^2-2x+1\Rightarrow -x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3]

Acredito que o erro está aí, porque a função logarítmica só é definida pra valores positivos do logaritmando. Mas é fácil perceber que a função [tex3]y=-x^2-2x+1[/tex3] pode atingir valores negativos. O que estou querendo dizer é o seguinte: na desigualdade [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1[/tex3], não existe restrição para os valores de [tex3]x,[/tex3] enquanto em [tex3]-x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3] existe restrição.
Faça [tex3]x=1.[/tex3] Então [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1[/tex3] é falsa. Mas o que podemos dizer sobre [tex3]-1<\log_2(-2)[/tex3]? Ao meu entender, nada! Não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Então, ao meu ver,
[tex3]2^{-x}< -x^2-2x+1\ \ \ \cancel{\Longrightarrow}\ \ \ -x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3]

No entanto, me parece valer [tex3]2^{-x}< -x^2-2x+1\ \ \ \ \Longleftarrow\ \ \ -x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3]