Ensino Fundamental ⇒ Produto notável Tópico resolvido

[Marcos]

Os números reais [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] satisfazem a igualdade:

[tex3]a\sqrt{a^2+2b^2}=b\sqrt{9a^2-b^2}[/tex3]

Um valor possível para [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] é:

[tex3]a)[/tex3] [tex3]\frac{5+2\sqrt{5}}{2}[/tex3]
[tex3]b)[/tex3] [tex3]\frac{5+\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] [tex3]\frac{3+2\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] [tex3]\frac{3+\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]e)[/tex3] [tex3]\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

[pgavp2012]

Elevando Os dois lados ao Quadrado temos:

[tex3]a^2(a^2+2b^2)=b^2(9a^2-b^2)[/tex3]

Resolvendo as Multiplicações temos agora :

[tex3]a^4+2a^2b^2=9a^2b^2-b^4[/tex3] , Agora, Forçando a ser um quadrado Perfeito temos:

[tex3]a^4-2a^2b^2+b^4-5a^2b^2=0[/tex3] , desmembrando temos : [tex3](a^2-b^2)^2 -5a^2b^2=0[/tex3] ...

Fazendo diferença de Quadrados temos : [tex3]\(a^2-\sqrt{5}ab-b^2\)\(a^2+\sqrt{5}ab-b^2\)[/tex3] , Fazendo o delta das Duas equações:

Da Primeira temos : [tex3]a^2-\sqrt{5}ab+b^2[/tex3] , daí temos por Bhaskara :

[tex3]\Delta = 5b~^2+4b^2 \\ \Delta =9b^2[/tex3]

Daí : [tex3]a_1=\frac{\sqrt{5}b+3b}{2}[/tex3] ou [tex3]a_2=\frac{\sqrt{5}b-3b}{2}[/tex3]

De novo Temos :

[tex3]\boxed{ \frac{a}{b}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}[/tex3] ou [tex3]\boxed{\frac{a}{b}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]...

Da Segunda Equação temos :

[tex3]a^2+\sqrt{5}ab-b^2[/tex3] , De novo teremos : [tex3]\Delta =9b^2[/tex3]

As Raízes dessa segunda equação são:

[tex3]a_3=\frac{-\sqrt{5}b+3b}{2}[/tex3] ou [tex3]a_4=\frac{-\sqrt{5}b-3b}{2}[/tex3]

Daí temos:

[tex3]\boxed{\frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}}[/tex3] ou [tex3]\boxed{\frac{a}{b}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}[/tex3] ....

Como A questão só admite Valores Positivos.. o Único valor que segue essas condições achado é:

[tex3]\boxed{\frac{a}{b}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}[/tex3] ,

LETRA E ...

É, Difícil Questão , Porém boa Espero ter ajudado , até a Próxima!

[roberto]

Elevando-se ambos os membros ao quadrado:[tex3]a^2.(a^2+2b^2)=b^2(9a^2-b^2)[/tex3]
[tex3]a^4+2a^2b^2=9a^2b^2-b^4\rightarrow a^4-7a^2b^2+b^4=0[/tex3]
[tex3](a^4-2a^2b^2+b^4)-5a^2b^2\rightarrow (a^2-b^2)^2-\sqrt{5}a^2b^2=0[/tex3]
[tex3](a^2-b^2)^2-(\sqrt{5}ab)^2=0\rightarrow (a^2-b^2+\sqrt{5}ab)(a^2-b^2-\sqrt{5}ab)=0[/tex3]
Da última equação, temos um produto que dá zero! Ou o 1º ou o 2º é igual a zero!
Fazendo o 1º termo ser nulo: (e usando "a" como variável):
[tex3]a^2+\sqrt{5}ba-b^2=0[/tex3]
[tex3]\Delta =9b^2[/tex3]
Encontramos duas raízes: [tex3]a_1[/tex3] e [tex3]a_2[/tex3]
[tex3]a_1=\frac{b(-\sqrt{5}+3)}{2}[/tex3]
e [tex3]a_2=\frac{b(-\sqrt{5}-3)}{2}[/tex3]
Agora iguale o 2º termo a zero e faça a mesma coisa! Depois experimente colocar as raízes dividida por b=2
E veja qual é a solução do problema!