Pré-Vestibular ⇒ (UNIFESP - adaptada) Trigonometria Tópico resolvido

[PedroCunha]

Trago outra questão de Trigonometria amigos:

[tex3]\text{(UNIFESP - adaptada) Se} \,\, 3cos \alpha + sen \alpha = -1, x \in 2^{\circ}Q \,\, \text{entao} \,\, sen \alpha + cos \alpha \,\, \text{e igual a:}

\\\\

\text{a)} - \frac{4}{5} \\
\text{b)} - \frac{1}{5}\\
\text{c)} \frac{2}{5}\\
\text{d)} - \frac{3}{5}\\
\text{e)} \frac{1}{5}\\[/tex3]

É isso.

Não possuo gabarito.

Agradeço a quem puder ajudar.

Att.,
Pedro

[roberto]

De [tex3]3cos\alpha +sen\alpha =-1[/tex3] temos:[tex3]cos\alpha =\frac{-1-sen\alpha }{3}[/tex3] Substitua isso na relação fundamental:
[tex3]sen^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex3]
Depois de simplificado ficará:[tex3]10sen^2\alpha +2sen\alpha -8=0[/tex3]
Faça:[tex3]sen\alpha =x[/tex3]
E resolva a equação quadrática:
[tex3]10x^2+2x-8=0[/tex3]
Teremos como raízes: -4 e 2
Então: [tex3]sen\alpha =-4[/tex3]
ou [tex3]sen\alpha =2[/tex3]
Mas como [tex3]\alpha \in 2Quadrante[/tex3]
o seno é positivo!
Logo:[tex3]sen\alpha =2[/tex3]
Mas tem algo errado!

[Radius]

De [tex3]3cos\alpha +sen\alpha =-1[/tex3] temos:[tex3]cos\alpha =\frac{-1-sen\alpha }{3}[/tex3] Substitua isso na relação fundamental:
[tex3]sen^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex3]
Depois de simplificado ficará:[tex3]10sen^2\alpha +2sen\alpha -8=0[/tex3]
Faça:[tex3]sen\alpha =x[/tex3]
E resolva a equação quadrática:
[tex3]10x^2+2x-8=0[/tex3]

teremos como raízes -1 e 4/5

Como [tex3]\sin \alpha \in 2^{\circ}Q[/tex3], [tex3]x=\sin \alpha = 4/5[/tex3]

e portanto [tex3]\cos \alpha=-3/5[/tex3]

Então [tex3]\boxed{\sin \alpha +\cos \alpha=1/5}[/tex3]

Letra E.

[PedroCunha]

Veja como resolvi, penso que esteja certo:

[tex3]3cos\alpha + sen\alpha = 1 \therefore 3\alpha = -1 - sen\alpha \therefore \boxed{cos\alpha = \frac{-1-sen\alpha}{3}}\\\\\text{Jogando na Identidade Fundamental da Trigonomentria}\\\\sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \therefore sen^2\alpha + (\frac{-1-sen\alpha}{3})^2 = 1 \therefore sen^2\alpha + (\frac{1 + sen\alpha + sen^2\alpha}{9}) = 1 \therefore \\\\ \frac{9sen^2\alpha + 1 + 2sen\alpha + sen^2\alpha - 9}{9} = 0 \therefore 10sen^2\alpha + 2sen\alpha - 8 = 0 \therefore \boxed{5sen^2\alpha + sen\alpha - 4 = 0}\\\\\text{Resolvendo a equacao do segundo grau}\\\\\Delta = 81\\\\x_1 = \frac{-1 + 9}{10} \therefore x_1 = \frac{4}{5}\\\\x_2 = \frac{-1-9}{10} \therefore x_2 = -1 \,\, \rightarrow \text{Nao serve, pois} \,\, x \in 2^{\circ}Q\\\\\text{Agora, para achar o valor do cosseno podemos fazer o seguinte:}\\\\sen\alpha = \frac{CO}{HIP} \therefore CO = 4 \,\, \text{e} \,\, HIP = 5. \,\, \text{Sendo assim, temos:} \,\, CA = 5 \,\, \text{(ternas pitagoricas), logo:} \\\\cos\alpha = - \frac{3}{5} \,\, \text{pois} \,\, \rightarrow x \in 2^{\circ}Q\\\\\text{Agora achando o que o enunciado pediu:}\\\\sen\alpha + cos\alpha = \frac{4}{5} + (-\frac{3}{5}) \therefore \boxed{\boxed{sen\alpha + cos\alpha = \frac{1}{5}}}\\\\[/tex3]