IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1984) Geometria Plana: Áreas de Figuras Planas Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Num triângulo ABC,a medida do lado [tex3]\overline{AB}[/tex3] é o dobro da medida do lado [tex3]\overline{AC}[/tex3]. Traça-se a mediana [tex3]\overline{AM}[/tex3] e a bissetriz [tex3]\overline{AD}[/tex3] ([tex3]M[/tex3] e [tex3]D[/tex3] pertencentes a [tex3]\overline{BC}[/tex3]). Se a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]S,[/tex3] então a área do triângulo [tex3]AMD[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{S}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{S}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{S}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3S}{8}[/tex3]
e) [tex3]\frac{S}{12}[/tex3]

[Fernando Jaeger]

Após desenhar a figura descrita no enunciado, vamos denotar a medida AC = x. Consequentemente, AB = 2x.

Como M é o ponto médio de BC, os triangulos ABM e ACM são equivalentes, possuindo, cada um deles, portanto, área igual a S/2.

Denotando a medida da bissetriz de b, e observando que os ângulos CAD e BAD são iguais (chamaremos cada ângulo congruente de a) temos que a soma das áreas dos triângulos ACD e ABD vale S. Portanto:

[tex3]\frac{b.x.sen(a)}{2} + \frac{b.2x.sen(a)}{2}[/tex3] = S

Logo,

b = [tex3]\frac{2S}{3.x.sen(a)}[/tex3]

Sendo assim, a área A do triângulo ACD pode ser calculada da seguinte maneira:

A = [tex3]\frac{x.b.sen(a)}{2}[/tex3]
Substituindo o valor calculado de b, temos que A = S/3

A área do triangulo ADM pode ser calculada subtraindo - se a área ACD da área ACM.

Portanto, a área procurada vale S/2 - S/3 = S/6

Alternativa c