Física II ⇒ (UERJ 2008) Óptica Geométrica Tópico resolvido

[Ina18]

Uma caixa-d'água cilíndrica, com altura h=36 cm e diâmetro D=86 cm, está completamente cheia de água. Uma tampa circular, opaca e plana, com abertura central de diâmetro d, é colocada sobre a caixa. No esquema R representa o raio da tampa e r o raio de sua abertura. Considere [tex3]n_a = 1,345[/tex3] (índice de refração da água).

Determine o menor valor assumido por d para que qualquer raio de luz incidente na abertura ilumine diretamente o fundo da caixa, sem refletir nas paredes verticais internas.

caixa.jpg (21.86 KiB) Exibido 10261 vezes

Resposta

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d=6cm

[Ina18]

Poxa, ninguém :/ ignorem a resposta.. eu acho que tá errada mesmo.. mesmo sendo a resposta que a Uerj deu
a resolução deles tá estranha, então só ignorem a resposta, eu preciso saber se o que eu tô fazendo tá certo ou se a deles (que está estranha) tá certa haha

[Radius]

hello, Ina

fiz assim

fig22.JPG (9.85 KiB) Exibido 10251 vezes

um raio que sai do canto do cilindro deve "estar na iminência" de sofrer reflexão total.
Sabemos que

[tex3]\sin L=\frac{1}{n_a}[/tex3]

[tex3]\frac{R-r}{\sqrt{(R-r)^2+h^2}}=\frac{1}{n_a} \\\\\\ n_a^2(R-r)^2=(R-r)^2+h^2 \\\\\ (n_a^2-1)(R-r)^2=h^2 \\\\\ R-r=\frac{h}{\sqrt{n_a^2-1}} \\\\\\ \boxed{r=R-\frac{h}{\sqrt{n_a^2-1}}}[/tex3]

Sabemos que R=D/2=43cm , h=36cm e na=1,345. Substituindo tudo vamos achar

[tex3]r=2,976\,cm[/tex3]

como d=2r,

[tex3]\boxed{d=5,952\,cm \approx 6\,cm}[/tex3]

poderia colocar o link da resolução da uerj?

[gabrielbpf]

Olá!

A resposta está certa!

Seguinte: Para que todos os raios incidam no chão antes de refletir nas paredes do cilindro, basta vermos as condições para que o rasante não reflita em tais paredes.

[tex3]sen(90^\circ)\cdot n_1=sen\alpha\cdot n_2 \Leftrightarrow sen\alpha=0,7434[/tex3]

Utilizando conceitos trigonométricos:
[tex3]0,7434^2+cos^2\alpha=1 \Leftrightarrow cos\alpha=0,6688 \\ \\ tan\alpha=1,112[/tex3]

Agora basta vermos a figura e traçarmos nela a trajetória do raio que chegaremos à expressão:

[tex3]tan\alpha=\frac{R-r}{h} \Leftrightarrow 1,112=\frac{43-r}{36} \Leftrightarrow r=2,968=3cm \\ \\ d=2r \Leftrightarrow d=6cm[/tex3]

É isso!
Abraços!

[Ina18]

Bom, obrigada, mas se depois vocês puderem dar uma olhada na resolução da Uerj, tem uma hora que tem um h na expressão e depois some, e não teria como ele ter cortado nem nada, e foi exatamente a resolução da Uerj que a minha professora mostrou, por isso que eu fiquei meio assim, mas muito obrigada ^^