IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1984) Geometria Plana: Segmentos Tangentes Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

As retas [tex3]PA[/tex3] e [tex3]PB[/tex3] são tangentes à circunferência de raio [tex3]R[/tex3] nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] respectivamente. Se [tex3]\overline{PA} =3x[/tex3] e [tex3]x[/tex3] é a distância do ponto [tex3]A[/tex3] à reta [tex3]PB,[/tex3] então [tex3]R[/tex3] é igual a:

a) [tex3]3\( 3 - 2\sqrt{2}\)x[/tex3]
b) [tex3]3\( 3 + 2\sqrt{2}\)x[/tex3]
c) [tex3]3x[/tex3]
d) [tex3]2\( 2 + 3\sqrt{3}\)x[/tex3]
e) [tex3]x[/tex3]

[Fernando Jaeger]

É imediato que [tex3]PA = PB,[/tex3] pois [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são pontos de tangência.

Passando por [tex3]A,[/tex3] trace uma reta perpenducular a [tex3]PB,[/tex3] e denomine o ponto de intersecção dessas [tex3]2[/tex3] retas de [tex3]S.[/tex3]

Trace um segmento perpenducular a [tex3]AS[/tex3] partindo do centro [tex3]O[/tex3] da circunfencia. Denomine o ponto extremo desse segmento, pertencente a [tex3]AS,[/tex3] de [tex3]T.[/tex3]

Sendo [tex3]PS = y,[/tex3] no triangulo [tex3]APS[/tex3] temos que

[tex3](3x)^2 = x^2 + y^2[/tex3]

[tex3]y = 2x \sqrt {2}[/tex3]


Trace os segmentos [tex3]OA[/tex3] e [tex3]OB.[/tex3] Como [tex3]OBST[/tex3] é um retângulo, [tex3]TS[/tex3] vale [tex3]R[/tex3] e [tex3]OT = BS = (3x - y)[/tex3]

Logo, no triangulo [tex3]AOT,[/tex3] temos:

[tex3]R^2=(x - R)^2 + (3x - y)^2[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]y[/tex3] e fazendo as simplificações possíveis, teremos que

[tex3]R = 3(3 - 2\sqrt {2})x[/tex3]

Alternativa a

[Birnebaum]

Obrigado

Bb

[petrasMOD]

SEGUE IMAGEM DA SOLUÇÃO