Pré-Vestibular ⇒ (República de Moçambique - 2012) Função Exponencial Tópico resolvido

[Mat3matic0]

Considere as funções [tex3]f(x)=2^{x}-1[/tex3] e [tex3]g(x)= -x^{2}+4[/tex3] definidas em |R. Seja a função, definida para todo número real, tal que: [tex3]h(x)=f(x).g(x)[/tex3]. Calcule h(-1) e h(1) demonstrando o conjunto dos números reais x tais que [tex3]h(x)<0[/tex3].

Está questão esta me batendo a cabeça, ela sempre sai nos Vestibulares(exames) de Matemática em 2012, 2011 e 2008, em minha regiao (Moçambique-Maputo cidade) como resolve-la, eu tentei de tudo(sem uso de logaritmos)

Resposta

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Para a primeira parte temos que -3/2,3;

[mvasantos]

Vou fazer do jeito que eu entendi a questão e você vê se está certo.
Essa é uma resolução de inequações produto-quociente.

[tex3]h(x) = (2^x-1) (-x^2+4)[/tex3]
[tex3]h(-1) = (2^{-1} -1) (-(-1^2) + 4) = \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{2}\right) (-1+4) = \left(-\frac{3}{2}\right)[/tex3]
[tex3]h(1) = (2^1 - 1 ) (-(1^2)+4) = (1)(3) = 3[/tex3]

Agora vamos ao estudo de sinal para encontrar os valores de [tex3]x[/tex3] para que [tex3]h(x)<0[/tex3]:
[tex3]f(x) = 2^x-1 \\
2^x - 1 = 0 \\
2^x = 1 \\
2^0 = 1 \\
x_1 = 0 \\[/tex3]

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[tex3]g(x) = -x^2+ 4 \\
x_2 = -2 \\
x_3 = 2 \\[/tex3]

gx.jpg (8.96 KiB) Exibido 523 vezes

Temos pelo estudo de sinal que:

[tex3]h(x) < 0 \therefore -2<x<0 \ ou \ x>2[/tex3]

Quaisquer correções, façam-as. E qualquer dúvida sobre a resolução, só perguntar.

[Mat3matic0]

Uma dúvida este exercicio se tu fores a fazer pelo método directo isto é, se multiplicares os 2(f e g) simultaneamente aplicando a propriedade distribuitiva eles vai dar uma equaçao, entao nessa equaçao penso eu exponencial, se substituires esses valores de -1 ou 1 nas incognitas "x" ela nao dará o mesmo resultado, maas, ela dará o mesmo resultado após ter factorizado a respectiva equaçao e depois substituir dará o mesmo resultado, porque acontece isso? Se quiser pode tentar fazer... É possivel que eu esteja falhando em algo

[mvasantos]

Faça a multiplicação entre eles e poste aqui. e equacoes desse tipo resolve-se dessa forma