Pré-Vestibular ⇒ (Universidade Católica de Goiás) Matrizes

[cicero444]

Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = AT e é dita anti-simétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:

(01) A + AT é uma matriz simétrica
(02) A - AT é uma matriz anti-simétrica

Escolha uma:
a. Verdadeira, Falsa
b. Verdadeira, Verdadeira
c. Falsa, Verdadeira
d. Falsa, Falsa

[PedroCunha]

Montando as matrizes, temos:

[tex3]A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \,\, A^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\\\boxed{A + A^T = \begin{pmatrix} 2a & b+c \\ c+b & 2d \end{pmatrix} \,\, (I)}\\
\boxed{(A+A^T)^T = \begin{pmatrix} 2a & c+b \\ b+c & 2d \end{pmatrix} \,\, (II)}\\I = II \rightarrow \boxed{\text{(01) VERDADEIRA}}\\
A - A^T = \begin{pmatrix} 0 & b - c \\ c - b & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \boxed{-(A-A^T) = \begin{pmatrix} 0 & c - b \\ b - c & 0 \end{pmatrix} \,\, (III)}\\\boxed{(A- A^T)^T = \begin{pmatrix} 0 & c - b \\ b - c & 0 \end{pmatrix} \,\, (IV)}III = IV \rightarrow \boxed{\text{(02) VERDADEIRA}}[/tex3]
Resposta: Letra b

Att.,
Pedro