Ensino Superior ⇒ Lucro máximo

[Mat3matic0]

Em uma indústria textil, o preço de um tipo de toalha é dado por [tex3]p=-0,001q+10[/tex3], onde(0 [tex3]\leq[/tex3] p [tex3]\leq[/tex3] 10.000) e o custo para a produçao das mesmas é dado por [tex3]C(q)=2q+12.000[/tex3]. Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo.

[temujin]

O lucro máximo da firma se dá no ponto em que a receita marginal iguala o custo marginal. Assim,

[tex3]RT = (-0,001q+10)q = -0,001q^2+10q \Rightarrow RMg = \frac{d}{dq}RT = -0,002q+10[/tex3]

E o custo marginal:

[tex3]CMg = \frac{d}{dq}CT = 2[/tex3]

Igualando: [tex3]-0,002q+10 = 2 \Rightarrow q^*=\frac{8}{0,002}=4000[/tex3]

[theblackmamba]

Acredito que [tex3]q[/tex3] seja a quantidade de toalhas.

O lucro é a diferença das vendas e o custo:
[tex3]L=V-C[/tex3]
[tex3]L(q)=q\cdot (-0,001q+10)-(2q+12000)[/tex3]
[tex3]L(q)=-0,001q^2+8q-12000[/tex3]

A quantidade [tex3]q[/tex3] que oferece o lucro máximo é obtido pela o abcissa do vértice da parábola [tex3]-0,001q^2+8q-12000[/tex3]:

[tex3]q=-\frac{8}{2\cdot (-0,001)}[/tex3]
[tex3]\boxed{q=4000}[/tex3]