Ensino Superior ⇒ Regra de L'hôpital Tópico resolvido

[Borracha22]

Comecei a fazer um exercícios de limite aqui e não consegui fazer quase nenhum. Detalhe, o exercício pedia para que fosse aplicada a Regra de L'hôpital, que eu não sei qual é, então procurei e a coisa mais simples que encontrei foi derivar o numerador e o denominador de cada função até que um limite fosse determinado. Entretanto, mesmo assim, não consegui fazer metade do exercício. Se fosse possível gostaria de ver toda a resolução de cada uma delas ou uma explicação mais precisa e simples do que é a regra de L'hôpital.

[tex3]m)\lim_{x\to0^+}x\cdot \ln x [/tex3]

[tex3]n)\lim_{x\to\pi/4}(1-\tg x )\sec (2x))[/tex3]

[tex3]o)\lim_{x\to0^+}\(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sen x }\)=[/tex3]

[tex3]p)\lim_{x\to0}\(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos (3x)}{x^2}\)[/tex3]

[tex3]q)\lim_{x\to0}\csc x -\frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]r)\lim_{x\to 0}\(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\)[/tex3]

[tex3]t)\lim_{x\to 0^+}(1+x)^\frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]u)\lim_{x\to 0}(e^x+x)^\frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]v)\lim_{x\to1}(2-x)^{\tg \(\frac{\pi}{2}-x\)}[/tex3]

Respostas: m) 0, n) 1, o) 0, p) 9/2, q) 0, r) 0, t) e, u) 2, v) e²

[micro]

A regra de lhospital é derivar o numerador e denominador ao achar uma indeterminação do tipo 0/0

[tex3]m)\lim_{x\to0^+}x\cdot \ln x [/tex3]

[tex3]x\cdot \frac{1}{x}+\ln x \cdot 1=1+\ln x [/tex3]

Sabe-se que Lnx existe se x>0 então o limite não existe

[jhonata]

A regra de lhospital é derivar o numerador e denominador ao achar uma indeterminação do tipo 0/0

[tex3]m)\lim_{x\to0^+}x\cdot \ln x [/tex3]

[tex3]x\cdot \frac{1}{x}+\ln x \cdot 1=1+\ln x [/tex3]

Sabe-se que Lnx existe se x>0 então o limite não existe

Sua resolução está errada... Cometeu um pequeno equívoco ao aplicar a regra do produto e derivar como produto.
Primeiro, você tem transformar o produto em um quociente.

Veja, podemos escrever [tex3]xlnx=\frac{\ln x }{\frac{1}{x}}[/tex3], então o limite: [tex3]\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x }{\frac{1}{x}}[/tex3] é uma indeterminação do tipo: [tex3]\frac{-\propto}{\propto}[/tex3], pois note que [tex3]\lim_{x\to0^+}\ln x = -\propto[/tex3] e [tex3]\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=\propto[/tex3].
Deste modo, podemos aplicar a regra de L'Hôspital:[tex3]\lim_{x\to0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x )}{\frac{d\(\frac{1}{x}\)}{dx}}[/tex3]

O resto fica como exercício.

[Borracha22]

Obrigado!

[micro]

[tex3]\lim_{x\to0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x )}{\frac{d\(\frac{1}{x}\)}{dx}}[/tex3]

[tex3]=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x\cdot 0-1.0}{x^2}}=0[/tex3]