Ensino Superior ⇒ Equações Paramétricas Tópico resolvido

[ANNA2013MARY]

Por favor estou me enrolando nesta questão, quero ver o desenvolvimento. Agradeço!
Verifique a posição relativa entre a reta r de equações paramétricas

x=2+9t
y=3+1t
z=3+2t

e a reta s de equação simétrica

s: [tex3]\frac{x-9}{3}[/tex3]=y-1=[tex3]\frac{z-1}{3}[/tex3]

Caso sejam concorrentes determine o ponto de interseção.

[candre]

primeiro vamos encontrar um ponto e o vetor diretor da reta, para a primeira reta temos:
[tex3]r:\begin{cases}x=2+9t\\y=3+t\\z=3+2t\end{cases}[/tex3]
da onde obtemos [tex3]P_r=(2,3,3)[/tex3] e [tex3]\vec{r}=(9,1,2)[/tex3]
analisando a segunda reta, temos que esta esta no formato simétrico, tendo:
[tex3]s:\frac{x-9}{3}=y-1=\frac{z-1}{3}[/tex3]
o formato simétrico e dado por:
[tex3]\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{l}[/tex3]
portanto obtemos [tex3]P_s=(9,1,1)[/tex3] e [tex3]\vec{s}=(3,1,3)[/tex3]
calculando o vetor ligado [tex3]\overrightarrow{P_rP_s}[/tex3]
[tex3]\overrightarrow{P_rP_s}=P_s-P_r=(9,1,1)-(2,3,3)=(7,-2,-2)[/tex3]
agora, calculando o produto misto, temos:
se [tex3][\vec{r},\vec{s},\overrightarrow{P_rP_s}]=0[/tex3] as retas são coplanares(estão no mesmo plano), caso contrario elas são reversas(não estão no mesmo plano).
calculando o produto misto temos:
[tex3][\vec{r},\vec{s},\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}9&1&2\\3&1&3\\7&-2&-2\end{vmatrix}=9\cdot1\cdot-2+1\cdot3\cdot7+2\cdot3\cdot-2-7\cdot1\cdot2--2\cdot3\cdot9\\--2\cdot3\cdot1=-18+21-12-14+54+6=37[/tex3]
portanto como o valor e diferente de zero então as retas são reversas, e fim.
resposta, a reta [tex3]r[/tex3] e a reta [tex3]s[/tex3] são reversas.