Olimpíadas ⇒ (IMO) Divisores e aritmética

[PedroCunha]

Segue a questão amigos:

O Número [tex3]12600[/tex3] possui [tex3]6x[/tex3] divisores naturais pares. Assim, pode-se afirmar que [tex3]x[/tex3] é o último algarismo do número:

a)[tex3]66111^{66110}[/tex3]
b)[tex3]66333^{66332}[/tex3]
c)[tex3]66444^{66445}[/tex3]
d)[tex3]66777^{66778}[/tex3]
e)[tex3]66999^{66998}[/tex3]

Não possuo gabarito.

Obrigado pela atenção

Att.,
Pedro

¹ Devido a fonte do exercício, não tenho certeza se no enunciado é [tex3]6x[/tex3] ou [tex3]6^x[/tex3]

[manerinhu]

decompondo 12600 em fatores primos, teremos
[tex3]12600 = 2^3*3^2*5^2*7[/tex3]
o numero de divisores pares será, então, igual a 54 = 9*6
dessa forma, x = 9

vamos verificar os numeros agora, de baixo para cima

[tex3]66999^{66998} = (66990 + 9)^{66998}[/tex3]
[tex3]9^1 = 9[/tex3]
[tex3]9^2 = 10k + 1[/tex3]
[tex3]9^3 = Q + 9[/tex3]
dessa forma, formamos uma repetição modulada em 2
mas 66998 = 2*33499
ou seja
[tex3]((66990 + 9)^{2})^{33499} = (10K +1)^{33499}[/tex3]
cujo ultimo algarismo será, certamente, igual a 1

[tex3]66777^{66778} = (66770 + 7)^{66778}[/tex3]
[tex3]7^1 = 7[/tex3]
[tex3]7^2 = Z + 9[/tex3]
[tex3]7^3 = Q + 3[/tex3]
[tex3]7^4 = L + 1[/tex3]
[tex3]7^5 = R + 7[/tex3]
temos uma repetição modulada em 4
66778 = 16694*4 + 2
então teremos o algarismo final igual a [tex3]7^2 = 9[/tex3]

acho que é isso