Ensino Superior ⇒ Técnicas de Integração - Área de uma Elipse Tópico resolvido

[theblackmamba]

Demonstre que a área delimitada pela elipse [tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3] é [tex3]\pi ab[/tex3].

Abraço.

[cassiohvm]

Seja [tex3]R[/tex3] a região limitada pela elipse. Então a área é dada por [tex3]\iint _R1 dA[/tex3]

Considere a mudança de variável [tex3]\begin{cases} x = ar \cos \theta \\ y = br \sin \theta \end{cases}[/tex3]

Com essa tranformação, [tex3]R[/tex3] torna-se o retângulo [tex3]\{ (r, \theta) | 0< r < 1, 0 < \theta < 2\pi \}[/tex3]

A matriz jacobiana é
[tex3]J = \begin{pmatrix} a \cos \theta & -ar \sin \theta \\ b \sin \theta & br \cos \theta \end{pmatrix} \Rightarrow \text{ det} J = abr[/tex3]

Logo, a area é
[tex3]\int_0^{2\pi}\int_0^1 abr drd\theta = \pi ab[/tex3]

[theblackmamba]

Obrigado cassiohvm!

Mas poderia se possível mostrar um caminho para a solução com integrais simples ? Pois eu ainda não tive a matéria de integral dupla, matrizes jacobianas....

Grande abraço.

[cassiohvm]

Isolando [tex3]y[/tex3] em [tex3]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/tex3] obtemos [tex3]y = \pm b\sqrt{ 1-\frac{x^2}{a^2}}[/tex3]

Dai a função [tex3]f(x) = b\sqrt{ 1-\frac{x^2}{a^2}}[/tex3] descreve a curva superior da elipse. Logo, sua area é dada por

[tex3]2 \int_{-a}^{+a}f(x) dx = 2b \int_{-a}^{+a} \sqrt{ 1-\frac{x^2}{a^2}} dx[/tex3]

Fazendo a substituição [tex3]x = a \sin t[/tex3], temos:

[tex3]2b \int_{-a}^{+a} \sqrt{ 1-\frac{x^2}{a^2}} dx = 2b \int_{- \frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \sqrt{ 1-\frac{a^2\sin ^2 t}{a^2}} a\cos t dt =[/tex3]

[tex3]2ab \int_{- \frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \cos^2t dt = ab \int_{- \frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} 1 + \sin 2t \,dt =\pi ab[/tex3]