Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Peruana) - Geometria Plana Tópico resolvido

[Marcos]

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo, com [tex3]a = BC[/tex3], [tex3]b = CA[/tex3] e [tex3]c = BA[/tex3]. Se [tex3]P[/tex3] um ponto qualquer, no interior deste triângulo, tal que [tex3]x = PA[/tex3], [tex3]y = PB[/tex3], [tex3]z = PC[/tex3], então podemos afirmar:

[tex3]a)[/tex3] [tex3]a+b+c[/tex3][tex3]<[/tex3][tex3]2x+2y+2z[/tex3]
[tex3]b)[/tex3] [tex3]a+b+c[/tex3][tex3]>[/tex3] [tex3]2x+2y+2z[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] [tex3]2x[/tex3] [tex3]>[/tex3] [tex3]a+b+c[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] [tex3]2x+2y[/tex3][tex3]>[/tex3][tex3]a+b+c[/tex3]
[tex3]e)[/tex3] [tex3]a+b+c[/tex3] [tex3]<[/tex3][tex3]2/3(x+y+z)[/tex3]

[RafaeldeLima]

Olá marcos,

De acordo com o problema temos:

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Aplicação direta da desigualdade triagular nos triangulos internos:


[tex3]\Delta BPC:\\\\z + y > a[/tex3]

[tex3]\Delta CPA:\\\\x+z>b[/tex3]

[tex3]\Delta BPA:\\\\x+y>c[/tex3]

Somando as três desigualdades:

[tex3]2x + 2y + 2z > a+b+c[/tex3]