Ensino Médio ⇒ Triângulos - Distância do Incentro ao Circuncentro Tópico resolvido

[juniorcesar]

A distância do incentro ao circuncentro de um triângulo retângulo de catetos [tex3]3 cm[/tex3] e [tex3]4 cm[/tex3] é em centímetros igual :

[tex3]a)\,\,2\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]b)\,\,\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]c)\,\,1,5[/tex3]
[tex3]d)\,\,\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
[tex3]e)\,\,2,5[/tex3]

[theblackmamba]

Olá juniorcesar,

Veja as demonstrações dos raios inscrito e circunscrito ao triângulo: viewtopic.php?t=23893

E também a demonstração da distância entre o circuncentro e o incentro do triângulo:
viewtopic.php?t=21098

Circunferência inscrita:
[tex3]r_i=\frac{3+4-5}{2}=1\,\text{cm}[/tex3]

Circunferência circunscrita:
[tex3]r_c = \frac{5}{2}[/tex3]. (o raio circunscrito é a metade da hipotenusa do triângulo pois ele é retângulo)

Sendo a distância procurada igual a [tex3]d:[/tex3]
[tex3]d^2=r_c^2-2r_c\cdot r_i[/tex3]
[tex3]d^2=\frac{5^2}{2^2}-2\cdot \frac{5}{2}\cdot 1[/tex3]
[tex3]d^2=\frac{25-20}{4}[/tex3]
[tex3]\boxed{d=\frac{\sqrt{5}}{2}\,\text{cm}}[/tex3]. Letra D

Abraço.

[Marcos]

Olá juniorcesar.Observe a solução:

Triângulos - Distância do Incentro ao Circuncentro.gif (6.48 KiB) Exibido 3856 vezes

[tex3].[/tex3] Raio do Círculo Circunscrito ao Triângulo Retângulo [tex3]ABC[/tex3].

[tex3]R=\frac{\bar{BC}}{2}[/tex3]

[tex3].[/tex3] Raio do Círculo Inscrito ao Triângulo Retângulo [tex3]ABC[/tex3].

[tex3]r=a[/tex3] (semi-perímetro [tex3]\triangle_{ABC}[/tex3])[tex3]-BC[/tex3] (hipotenusa)

OBS: Tangente que partem do mesmo ponto são iguais.

[tex3]m+n=3[/tex3] [tex3](i)[/tex3]
[tex3]n+p=4[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]
[tex3]m+p=5[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

Somando [tex3](i)[/tex3], [tex3](ii)[/tex3] e [tex3](iii)[/tex3], teremos:

[tex3]m+n+n+p+m+p=3+4+5[/tex3]
[tex3]2m+2n+2p=12[/tex3]
[tex3]m+n+p=6 cm[/tex3] (semi-perímetro [tex3]\triangle_{ABC}[/tex3]) substituindo [tex3]m+n=3[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{p=3 cm}[/tex3]

Substituindo em [tex3](ii)[/tex3]:

[tex3]n+p=4[/tex3]
[tex3]n+3=4[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{n=1 cm}[/tex3]

Substituindo em [tex3](iii)[/tex3]:

[tex3]m+p=5[/tex3]
[tex3]m+3=5[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{m=2 cm}[/tex3]

OBS:Sempre que traço uma tangente ela será perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência.

[tex3]r \Rightarrow[/tex3] Raio do Círculo Inscrito ao Triângulo Retângulo [tex3]ABC[/tex3].
[tex3]I \Rightarrow[/tex3] Incentro
[tex3]O \Rightarrow[/tex3] Circuncentro
[tex3]D \Rightarrow[/tex3] Distância entre o incentro [tex3]I[/tex3] ao circuncentro [tex3]O[/tex3].

[tex3]D^2=r^2+s^2[/tex3]
[tex3]D^2=(a-BC)^2+(R-m)^2[/tex3]
[tex3]D^2=(6-5)^2+(\frac{5}{2}-2)^2[/tex3]
[tex3]D^2=(1)^2+(\frac{1}{2})^2[/tex3]
[tex3]D^2=1+ \frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]D^2=\frac{5}{4}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{D=\frac{\sqrt{5}}{2} cm}} \Longrightarrow Letra:(D)[/tex3]

Resposta: [tex3]D[/tex3]