IME / ITA ⇒ (EN - 1985) Equações Polinomiais Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Sabendo-se que [tex3]x_1 = i,\, x_2[/tex3] e [tex3]x_3[/tex3] são as raízes da equação [tex3]x^3 + mx^2 + nx + p = 0[/tex3], com [tex3]m,\, n[/tex3] e [tex3]p[/tex3] números reais não nulos, podemos afirmar que:

(A) [tex3]x_1,\, x_2[/tex3] e [tex3]x_3[/tex3] são imaginários puros
(B) [tex3]x_2[/tex3] e [tex3]x_3[/tex3] são reais
(C) [tex3]x_1\cdot x_2\cdot x_3 = p[/tex3]
(D) [tex3]m^2 = 2n + p[/tex3]
(E) somente uma das raízes é real

Resposta: E

[fabit]

Como os coeficientes são reais, se um complexo é raiz, seu conjugado também tem que ser. Portanto, se [tex3]x=i[/tex3] é raiz, [tex3]x=-i[/tex3] também é. A terceira raiz necessariamente será real porque terá de ser conjugada de si mesma.

Letra E.

Abraço

[mvgcsdf]

Grande Fabit!!
Tentei usar relações de Girard, mas só me compliquei...
Ficava faltando 1 incógnita.
Entendi o seu raciocínio.
Esta questão é mais teórica ao invés de envolver cálculo, né?
Obrigado pela força mais uma vez!!
Abração!!

[fabit]

É só teórica, com os parâmetros m, n e p de "armadilha". Não tem que calcular nada.

Até dava pra fazer outra questão em cima da mesma situação, mas não foi o caso.

Abraço