Ensino Superior ⇒ Espaços vetoriais

[crsjcarlos]

Tenho um subespaço de R^4, gerado por 4 vetores S = {(1,2,-1,3) , (3,0,1,-2) , (1,-4,3,-8) , (5,-8,7,-18)}. Esse espaço tem dimensão igual a 2. Faço a matriz A (4x4), cujas colunas são os 4 vetores.
Tomamos o sistema A.X = 0, e obtemos como solução geral, X = [(4a + 2b , -3a - b , b , a)].
Escrevo X como o subespaço {(4,-3,0,1) , (2,-1,1,0)], logo, esses dois vetores de X geram o subespaço X, e portanto formam uma base de X.

A minha dúvida é a seguinte: Quero saber se os dois vetores de X podem ser uma base para S.

[jhonata]

Tenho um subespaço de R^4, gerado por 4 vetores S = {(1,2,-1,3) , (3,0,1,-2) , (1,-4,3,-8) , (5,-8,7,-18)}. Esse espaço tem dimensão igual a 2. Faço a matriz A (4x4), cujas colunas são os 4 vetores.
Tomamos o sistema A.X = 0, e obtemos como solução geral, X = [(4a + 2b , -3a - b , b , a)].
Escrevo X como o subespaço {(4,-3,0,1) , (2,-1,1,0)], logo, esses dois vetores de X geram o subespaço X, e portanto formam uma base de X.

A minha dúvida é a seguinte: Quero saber se os dois vetores de X podem ser uma base para S.

O subespaço X em questão é uma base do núcleo de S que tem dimensão 2, pois você apresentou a solução do sistema homogêneo.
Para que ele gere o subespaço S, o subespaço S deve conter também dimensão 2.
Isto é, neste conjunto: {(1,2,-1,3) , (3,0,1,-2) , (1,-4,3,-8) , (5,-8,7,-18)} devemos ter no mínimo dois vetores LD para que obtenhamos dimensão <= 2. Dai sim, poderemos afirmar que o subespaço vetorial X também gera o subespaço vetorial S.
Uma observação interessante é que se o núcleo desse subespaço vetorial tem dimensão 2, então sempre Dim(Nuc(S)) <= Dim(S).

Acredito que seja isso.