Ensino Superior ⇒ Espaços Vetoriais Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

Sejam [tex3]\mathbb{E}[/tex3] um espaço vetorial e [tex3]u,v \in \mathbb{E}[/tex3]. O segmento de reta de extremidades [tex3]u,v[/tex3] é, por definição, o conjunto

[tex3][u,v] = \{ (1 - t) u + tv \ ; \ \ 0 \leq t \leq 1\}[/tex3]

Um conjunto [tex3]\mathbb{X} \subset \mathbb{E}[/tex3] chama-se convexo quando [tex3]u,v \in \mathbb{X} \Rightarrow [u,v] \subset \mathbb{X}[/tex3]. Considere os conjuntos convexos [tex3]\mathbb{X}_i[/tex3] ([tex3]i \in L = \{1,2,3, ..., m\}[/tex3]) mostre que:

[tex3]\bigcap_{i \in L} X_i[/tex3]

é convexo.

[Cássio]

Considere dois vetores [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] pertencentes a [tex3]\bigcap_{i\in L}\mathbb{X}_i.[/tex3] Para que isso aconteça, devemos ter:

[tex3]\begin{cases}u, v\in\mathbb{X}_1\\ u, v\in\mathbb{X}_2\\ \vdots\ \\ u, v\in\mathbb{X}_m\end{cases}[/tex3]

Como são todos convexos, temos:

[tex3]\begin{cases}[u, v]\subset\mathbb{X}_1 \\ [u, v]\subset\mathbb{X}_2\\ \vdots \\ [u, v]\subset\mathbb{X}_m.\end{cases}[/tex3]

Mas isso significa que [tex3][u, v]\subset\bigcap_{i\in L}\mathbb{X}_i.[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Cássio

Pelas informações dadas na questão, você não deveria utilizar a definição de conjunto convexo?

[Cássio]

Não vejo necessidade. Isso aí tudo são conjuntos, e a convexidade é como se fosse uma propriedade de certos elementos dos conjuntos. Acredito que você só vai usar a definição pra letra b dessa questão.