Ensino Superior ⇒ Calculo 1 - Taxa de Variação

[juliadias]

O exercício melhora a saúde física e mental; entretanto, muitas pessoas não se exercitam, por várias razões. Suponha que a taxa de variação do índice de saúde S(t) devido ao exercício seja dada por

[tex3]\large{S'(t)=7\cdot e^{-0,14t}}[/tex3]

Onde t é o número de horas de exercício por semana.

a) Determine S(t), supondo que S = 50 para uma pessoa que não faz nenhum exercício.
b) Determine o tempo de exercício por semana necessário para conseguir um índice de saúde de 90.

Obrigado!!

[theblackmamba]

Olá juliadias,

a)

[tex3]\frac{d}{dt}[S(t)]=7\cdot e^{-0,14t}[/tex3]
[tex3]S(t)=7\int e^{-0,14t}\,dt[/tex3]
[tex3]S(t)=7 \cdot (-7,14286)e^{-0,14t}+C[/tex3]
[tex3]S(t)=-50\cdot e^{-0,14t}+C[/tex3]

Como [tex3]S(0)=50[/tex3] temos:
[tex3]50=-50 \cdot e^{-0,14\cdot 0}+C[/tex3]
[tex3]50=-50+C[/tex3]
[tex3]C=100[/tex3]

[tex3]\boxed{S(t)=-50 \cdot e^{-0,14t}+100}[/tex3]

b)

Queremos saber [tex3]t[/tex3] tal que [tex3]S(t)=90[/tex3]:

[tex3]S(t)=90[/tex3]
[tex3]-50 \cdot e^{-0,14t}+100=90[/tex3]
[tex3]e^{-0,14t}=\frac{-10}{-50}[/tex3]. Aplicando [tex3]\ln[/tex3] nos dois lados:
[tex3]-0,14t=\ln 0,2[/tex3]
[tex3]t=-\frac{\ln 0,2}{0,14}[/tex3]
[tex3]\boxed{t\,\,\approx\,\,11,50\,\text{h}}[/tex3]

PS.:
[tex3]\int e^{-0,14 t} dt[/tex3]. Faça [tex3]u=-0,14t\,\,\Rightarrow\,\,du=-0,14 dt\,\,\therefore\,\,dt=\frac{du}{-0,14}[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{0,14}\int e^u\,du \,\,\approx\,\,-7,14286e^u +C[/tex3]

Peço que voê tente usar o latex o melhor possível para manter a organização do fórum. Veja como usar neste link: http://www.tutorbrasil.com.br/tutoriais ... r-equacoes

Lá você encontra tudo explicadinho.

Pelas regras do fórum você não podemos postar imagens que contenha o enunciado que poderia ser escrito com o teclado. Dê uma olhadinha nas regras: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/regras.php

Grande abraço.