Ensino Médio ⇒ Discussão de Sistemas Lineares Tópico resolvido

[danessa]

Senhores, minha dúvida é numa questão sobre discussão de sistemas lineares, que pode ser simples, mas pra mim, tá complicado.

O sistema [tex3]\begin{cases}x - y - z = 0\\2x + y -z = 5\\3x + 3y - z = 10\end{cases}[/tex3] é:

a) indeterminado com uma variável livre
b) indeterminado com duas variáveis livres
c) homogêneo
d) impossível
e) determinado

Eu compreendi que é indeterminado uma vez que o determinante dos coeficientes é 0 e Dx, Dy e Dz também são 0, mas não entendi o conceito de variável livre.

Desde já, muito obrigado !

[jrneliodias]

Olá, Danessa.

Para começar, Escrevemos a matriz total e a escalonamos:
[tex3]\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & 0\\ 2 & 1 &-1 &5\\ 3 & 3 & -1 & 10\end{array}\right)\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex3]

Com isso, podemos rescreever o sistema da seguinte forma:
[tex3]\begin{cases}x-y-z=0\\3y+z=5\end{cases}[/tex3]

Perceba que se torno um sistema indetermidado, já que há três variavel e duas equações. Porém usando uma váriavel livre podemos criar uma solução em função dessa variável. Garanto que pode ser qualquer uma. Irei colocar a variável [tex3]z[/tex3] livre.

[tex3]\begin{cases}x-y=z\\3y=5-z\end{cases}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\begin{cases}x=\frac{5+2z}{3}\\y=\frac{5-z}{3}\end{cases}[/tex3]

Portanto, nossa solução será [tex3]\left(\frac{5+2z}{3},\,\,\frac{5-z}{3},\,z\right)[/tex3]


Espero ter ajudado, abraço.

[danessa]

Muito obrigado, jrneliodias.
Obrigado mesmo pela explicação, ajudou muito !