Pré-Vestibular ⇒ (UFMS) Trigonometria Tópico resolvido

[PedroCunha]

Segue a questão:

Seja p um número real tal que [tex3]\sen \(\frac{5 \pi}{7}\) = p[/tex3]. É correto afirmar que:

01) p é um número negativo

02)[tex3]p^2 -1 > 0[/tex3]

04) [tex3]\cos \(\frac{5 \pi}{7}\) = -\sqrt{1 - p^2}[/tex3]

08) [tex3]\sen \(\frac{9 \cdot \pi}{7}\) = -p[/tex3]

16) [tex3]\sen \(\frac{10 \pi}{7}\) = 2p[/tex3]

Resposta

---

04, 08

Agora, o que pensei para justificar o gabarito:

01) p é um número negativo

[tex3]p = \sen \(\frac{5 \pi}{7}\) \rightarrow p = \sen (\approx 128) \therefore p \in 2Q \therefore \boxed{p > 0 , \,\, 01-F}[/tex3]

02)[tex3]p^2 -1 > 0[/tex3]

[tex3]\sen ^2x + \cos ^2x = 1 \therefore (p^2) + \cos ^2x = 1 \therefore p^2 - 1 = -(\cos ^2x) \rightarrow p^2-1 = (-1) \cdot \cos ^2x \therefore \\ \boxed{p^2-1 < 0, \,\, 02-F}[/tex3]

04) [tex3]\cos \(\frac{5 \pi}{7}\) = -\sqrt{1 - p^2}[/tex3]

[tex3]\sen ^2x + \cos ^2x = 1 \therefore (p^2) + \cos ^2x = 1 \therefore \cos ^2x = 1 - p^2 \therefore \\ \cos x = \sqrt{1-p^2} \rightarrow x \in 2Q \therefore \boxed{\cos x = -\sqrt{1-p^2}, \,\, 04-V}[/tex3]

08) [tex3]\sen \(\frac{9 \cdot \pi}{7}\) = -p[/tex3]

[tex3]\sen \(\frac{9\cdot \pi}{7}\) \therefore \sen (\approx 231) \rightarrow x \in 3Q \therefore \boxed{-p, \,\, 08-V}

\\\\

\text{Obs\cdot :Nao tenho certeza se posso assumir isso}[/tex3]

16) [tex3]\sen \(\frac{10 \pi}{7}\) = 2p[/tex3]

[tex3]\sen \(\frac{10\pi}{7}\) = \sen \(2 \cdot \frac{5\pi}{7}\) \therefore \sen \(\frac{10\pi}{7}\) = 2\sen \frac{5\pi}{7} \cdot \cos {\frac{5 \pi }{7}} \rightarrow \boxed{\sen \(\frac{10\pi}{7}\) \neq 2p, \,\, 16-F}[/tex3]

Gostaria de saber se estão certas as justificativas e se não, os porquês.

Obrigado pela atenção.

Att.,
Pedro

¹Se algum moderador puder mudar o tópico de local, ficarei agradecido.

[jrneliodias]

Olá, Pedro.

Em primero lugar, localizamos o ângulo. [tex3]\frac{5\pi}{7}>\frac{\pi}{2} \hspace{10pt} pois \hspace{10pt} 35>7\,\,\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\, \frac{5\pi}{7}<\pi\,\,\,\,\,pois\,\,\,\,\,\,5<7[/tex3]. Portanto:

Se [tex3]\frac{\pi}{2}<\frac{5\pi}{7}<\pi\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,0<\sin \frac{5\pi}{7}<1[/tex3]

Afirmação 01 falsa.

Se [tex3]0<p<1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,0<p^2<1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-1<p^2-1<0[/tex3]

Afirmação 02 falsa.

[tex3]\sin^2\left(\frac{5\pi}{7}\right)+\cos^2\left(\frac{5\pi}{7}\right)=1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)=-\sqrt{1-p^2}[/tex3]

Afirmação 04 verdadeira.

[tex3]\sin\left(\frac{5\pi}{7}+\frac{9\pi}{7}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{7}\right)\cdot \cos \left(\frac{9\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)\cdot \sin \left(\frac{9\pi}{7}\right)[/tex3]

Fazendo [tex3]\sin\left(\frac{9\pi}{7}\right)=r[/tex3] Teremos:
[tex3]r\,\sqrt{1-p^2}-p\,\sqrt{1-r^2}=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,r\,\sqrt{1-p^2}=p\,\sqrt{1-r^2}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\\\\r^2(1-p^2)=p^2(1-r^2)\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,r^2=p^2\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,r=p\,\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,\,\,r=-p[/tex3]

[tex3]Como\,\,\,\,\,\,\sin\left(\frac{9\pi}{7}\right)<0\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\sin\left(\frac{9\pi}{7}\right)=-p[/tex3]

Afirmação 08 verdadeira.

[tex3]\sin\left(\frac{10\pi}{7}\right)=2\sin\left(\frac{5\pi}{7}\right)\cdot\cos \left(\frac{5\pi}{7}\right)=-2p\sqrt{1-p^2}[/tex3]

Afirmação 16 falsa.


Espero ter ajudado, abraço.

[PedroCunha]

Ajudou de montão cara!

Você fez de uma forma totalmente matemática.

No entanto gostaria de saber se a maneira que resolvi está correta também.

Att.,
Pedro

[jrneliodias]

Apenas a da afirmação 08 está errada. [tex3]\sin\left(\frac{9\pi}{7}\right)\,\in\,3\,\text{Q}[/tex3] não garante que seja verdadeira.

Estava vendo aqui, poderia ser feito assim:
[tex3]\sin\,(\pi-x)=-\sin\,(\pi+x)[/tex3]

Fazendo [tex3]x=\frac{2\pi}{7}[/tex3]:
[tex3]\sin\left(\frac{5\pi}{7}\right)=-\sin\left(\frac{9\pi}{7}\right)\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\sin\left(\frac{9\pi}{7}\right)=-p[/tex3]

Abraço.

[PedroCunha]

Entendi!

Valeu cara!

Att.,
Pedro