Ensino Médio ⇒ Relações no Triângulo III Tópico resolvido

[FilipeCaceres]

P3. Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] um triângulo e [tex3]p,r,R[/tex3] sendo o semiperimetro,raio inscrito e circunscrito, respectivamente. Sabendo que [tex3]\sin A,\sin B,\sin C[/tex3] são raízes de um polinômio, encontre tal polinômio escrevendo os coeficientes em função de [tex3]p,r,R[/tex3].

Bons estudos!

[theblackmamba]

Olá Filipe,

Pelas relações de área no triângulo:

[tex3]S=pr[/tex3]
[tex3]S=\frac{abc}{4R}[/tex3]

[tex3]S=\frac{1}{2}\cdot bc \cdot \sin A[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{2}\cdot ac \cdot \sin B[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{2}\cdot ab \cdot \sin C[/tex3]

Multiplicando as três últimas equações e substituindo a primeira e depois a segunda:
[tex3]S^3=\frac{1}{8}\cdot (abc)^2\cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C[/tex3]
[tex3]S^3=\frac{1}{8}\cdot S^2\cdot 16R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C[/tex3]
[tex3]\boxed{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C=\frac{pr}{2R^2}}[/tex3]

Isolando os valores dos senos nas três fórmulas:
[tex3]\sin A + \sin B + \sin C=\frac{2S}{bc}+\frac{2S}{ac}+\frac{2S}{ab}[/tex3]
[tex3]\sin A + \sin B + \sin C=2S\cdot \left(\frac{a+b+c}{abc}\right)[/tex3]
[tex3]\sin A + \sin B + \sin C=2S\cdot \frac{2p}{4S\cdot R}[/tex3]
[tex3]\boxed{\sin A + \sin B + \sin C=\frac{p}{R}}[/tex3]

Fazendo o inverso:
[tex3]\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{bc}{2S}+\frac{ac}{2S}+\frac{ab}{2S}[/tex3]
[tex3]\frac{\sin A \cdot \sin B+\sin A \cdot \sin C+\sin B \cdot \sin C}{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}=\frac{\overbrace{ab+ac+bc}^{4Rr+p^2+r^2}}{2S}[/tex3]
[tex3]\sin A \cdot \sin B+\sin A \cdot \sin C+\sin B \cdot \sin C=\frac{pr}{2pr \cdot 2R^2}\cdot (4Rr+p^2+r^2)[/tex3]
[tex3]\boxed{\sin A \cdot \sin B+\sin A \cdot \sin C+\sin B \cdot \sin C=\frac{4Rr+p^2+r^2}{4R^2}}[/tex3]

Portanto o polinômio desejado é:

[tex3]\boxed{\boxed{\large{x^3-\frac{p}{R}\cdot x^2+ \left(\frac{4Rr+p^2+r^2}{4R^2}\right)\cdot x-\frac{pr}{2R^2}=0}}}[/tex3]

Ou ainda temos:

[tex3]\boxed{\boxed{\large{4R^2\cdot x^3-4Rp\cdot x^2+(4Rr+p^2+r^2)\cdot x-2pr=0}}}[/tex3]

Espero que seja isso!

Abraços.

[FilipeCaceres]

Opcional.

Lei dos senos,
[tex3]\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R[/tex3]

Assim temos,
[tex3](1)\,\,\sin A+\sin B+\sin C=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\Longrightarrow \boxed{\sin A+\sin B+\sin C =\frac{p}{R}}[/tex3]

[tex3](2)\,\,\sin A\cdot \sin B+\sin A\cdot \sin C+\sin B\cdot \sin C=\frac{ab}{4R^2}+\frac{ac}{4R^2}+\frac{bc}{4R^2}=\frac{ab+ac+bc}{4R^2}[/tex3]

Mas de P1 temos
[tex3]ab+ac+bc=4Rr+r^2+p^2[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\boxed{\sin A\cdot \sin B+\sin A\cdot \sin C+\sin B\cdot \sin C=\frac{4Rr+r^2+p^2}{4R^2}}[/tex3]

Por fim,
[tex3](3)\,\,\sin A\cdot\sin B \cdot \sin C=\frac{a}{2R}\cdot \frac{b}{2R}\cdot \frac{c}{2R}=\frac{abc}{8R^3}[/tex3]

Novamente de P1 temos
[tex3]abc=4Rrp[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\boxed{\sin A\cdot\sin B \cdot \sin C=\frac{pr}{2R^2}}[/tex3]