IME / ITA ⇒ (AFA - 1996) Geometria Plana

[brunoafa]

Qual a área do triângulo retângulo isósceles que inscreve uma circunferência de raio [tex3]r=\sqrt{2}[/tex3]?

[tex3]a) \,\,(3 + 2 \sqrt{2} )\\
b) \,\,2\cdot (3 + 2 \sqrt{2} )\\
c) \,\,3\cdot (2 + \sqrt{2} ) \\
d) \,\,4\cdot (1 + \sqrt{2} )[/tex3]

[brunoafa]

Aproveitando o tópico alguém tem as resoluções da prova antiga da afa?

[theblackmamba]

Olá brunoafa,

Dê uma olhada neste link da demonstração do raio da circunferência em função dos lados do triângulo: viewtopic.php?t=23893

Como o triângulo é isósceles seus catetos e hipotenusa valem [tex3]x[/tex3] e [tex3]x\sqrt{2}[/tex3].

Logo,
[tex3]r=\frac{x+x-x\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}=\frac{x\cdot (2-\sqrt{2})}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\times \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+2[/tex3]

Logo a área do triângulo vale:
[tex3]A=\frac{x^2}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{(2\sqrt{2}+2)^2}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{12+ 8\sqrt{2}}{2}=\frac{4\cdot (3+2\sqrt{2})}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{A=2\cdot (3+2\sqrt{2})}[/tex3]. Letra B

[Gabrielbaise]

theblackmam,

Como voce chegou nessa parte?

[tex3]\sqrt{2}=\frac{x\cdot (2-\sqrt{2})}{2}[/tex3]


EU FIZ ISSO

[tex3]\sqrt{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[theblackmamba]

Olá Gabirelbaise,

Temos:
[tex3]\sqrt{2}=\frac{x+x-x\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}=\frac{2x-x\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Agora vou colocar o [tex3]x[/tex3] em evidência:
[tex3]\sqrt{2}=\frac{x\cdot (2-\sqrt{2})}{2}[/tex3]

Abraço.

[Gabrielbaise]

Theblackmam,


Muito Obrigado, era so colocar em evidencia.

[img]http://images.sodahead.com/profiles/0/0 ... 81902.jpeg[/img]

[Gabrielbaise]

theblackmam,


Como voce chegou a esse resultado?

[tex3]2\sqrt{2}+2[/tex3]


谢谢。