Pré-Vestibular ⇒ (CEFET-MG) Circunferência Tópico resolvido

[PedroCunha]

Olá amigos.

Segue a questão:

A circunferência de equação [tex3]x^2 + 2x + y^2= 3[/tex3] tem centro C e intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos A e B. O produto dos coeficientes angulares das retas suportes dos segmentos [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{BC}[/tex3] é igual a:

a)[tex3]-3[/tex3]
b)[tex3]-\sqrt3[/tex3]
c)[tex3]-1[/tex3]
d)[tex3]1[/tex3]
e)[tex3]3[/tex3]

Peço que resolvam detalhadamente se possível, tenho muitas dificuldades em Geometria.

Obrigado pela atenção.

Att.,
Pedro

[gustavoxd]

Completando quadrados, a equação da circunferência fica:

[tex3]x^2 + 2x + 1 + y^2= 3 + 1 \Rightarrow (x+1)^2+y^2 = 2^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1)[/tex3]

Os pontos em que a circunferência intercepta o eixo das ordenadas são tais que x = 0, substituindo na equação (1):


[tex3](1)^2+y^2 = 2^2 \Rightarrow y^2=3 \Rightarrow y = \pm\sqrt3[/tex3]

Assim, os pontos em questão são:

[tex3]A (0,\sqrt3)[/tex3]
[tex3]B (0,-\sqrt3)[/tex3]
[tex3]C (1, 0)[/tex3]

de modo que a reta [tex3]\bar {AC}[/tex3] é: [tex3]y = -\sqrt3 x +\sqrt3[/tex3]

e a reta [tex3]\bar {BC}[/tex3] é: [tex3]y =\sqrt3 x -\sqrt3[/tex3]

Assim, o produto é dado por: [tex3]\sqrt3 * -\sqrt3 = -3[/tex3]

[PedroCunha]

Obrigado pela resposta amigo, mas não entendi 3 coisas:

Como você achou o valor do ponto C, as equações da reta e os coeficientes, ):

Att.,
Pedro

[gustavoxd]

iInicialmente, você tem de saber que a equação da circunferência é:

[tex3](y-y_c)^2+(x-x_c)^2 = r^2[/tex3]

Dessa forma, a idéia inicial é transformar aquela equação dada no problema numa desse tipo. Para tanto, notamos que o [tex3]y^2[/tex3] já está nessa forma: [tex3]y^2 = (y-0)^2[/tex3], assim, falta apenas o x. Para transformarmos o [tex3]x^2+2x[/tex3] na forma da equação da circunferência, precisamos de uma parcela +1, dessa forma, somamos 1 de cada lado da equação, obtendo, do lado esquerdo: [tex3]x^2 +2x + 1 = (x-1)^2 = (x-x_c)^2[/tex3], e, do outro lado: 3 + 1 = 4 = 2², sendo assim, temos que essa equação representa uma circunferência de raio 2 e centro em C (-1,0) . (coordenadas do centro.) Na verdade, eu me equivoquei na solução, pois coloquei o centro em (1,0), logo a resposta saiu com sinal trocado, na verdade é 3, pelo mesmo raciocínio.

Agora, temos de ver os pontos em que a circunferência toca o eixo das ordenadas, ou seja, quando x = 0, substituindo, como anteriormente, x por 0, encontramos:[tex3]y = \pm\sqrt3[/tex3]

logo, as retas em questão têm pontos:
[tex3]A (0,\sqrt3)[/tex3] e [tex3]C (-1,0)[/tex3]

e

[tex3]B (0,-\sqrt3)[/tex3] e [tex3]C (-1,0)[/tex3]

Há várias formas de se encotnrar a equação de uma reta, colocarei a mais básica e um pouco mais trabalhosa, pois é mais simples de entender.

a equação de uma reta é y = ax + b, a e b constantes. Dessa forma, como temos 2 pontos da reta, podemos substituí-los em x e y, obtendo um sistema de 2 equações e 2 incógnitas, escreverei um sistema, para você entender. Por exemplo, a reta suporte de [tex3]\bar {AC}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\sqrt3 = a*0 + b\\0=a*(-1) + b\end{cases}[/tex3] donde: [tex3]\begin{cases}b =\sqrt3\\a = b =\sqrt3\end{cases}[/tex3]

Você pode fazer o mesmo para a reta suporte [tex3]\bar{BC}[/tex3] e conferir. Daí, basta multiplicar os coeficientes angulares e constatar que a sua multiplicação dá 3. (como disse, eu tinha colocado as coordenadas do centro erradas na resolução.)

[PedroCunha]

Valeuuuu cara!

De verdade!

Entendi tudo!

Abraços!

Att.,
Pedro

[PedroCunha]

Só uma coisa amigo:

[tex3]x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2[/tex3]

Então a circunferência não teria centro em (1,0)?

Dei uma pesquisada e aparentemente essa questão já existia no fórum e a resposta era -3 mesmo.

Att.,
Pedro

[gustavoxd]

Não, é em (-1,0) mesmo, veja bem: a forma é: [tex3](x-x_c)^2 = (x+1)^2=(x-(-1))^2[/tex3] ou seja [tex3]x_c = -1.[/tex3]

[gustavoxd]

Desculpe, errei novamente na segunda mensagem minha. É [tex3](x+1)^2[/tex3] em vez de [tex3](x-1)^2[/tex3] como eu havia colocado.

[PedroCunha]

Entendi!

Valeu!