Ensino Superior ⇒ Volumes e Integrais Tópico resolvido

[felps]

Alguém poderia me ajudar?

Encontre o volume do sólido [tex3]S[/tex3] descrito:

Uma pirâmide com altura [tex3]h[/tex3] e base triangular equilátera com lado [tex3]a[/tex3] (um tetraedro).

Obs: como no título, deve ser calculado com integrais.

Resposta

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[tex3]\frac{\sqrt{3}}{12}a^2h[/tex3]

[theblackmamba]

Olá felps,

Colocando o tetraedro com o eixo y passando pelo baricentro (que passa pela origem) e o vértice.
Pegue uma fatia desse tetraedro com área da base igual a um triângulo equilátero de lado [tex3]x[/tex3] a uma distância [tex3]y[/tex3] do vértice.

Pela semelhança:
[tex3]\frac{h}{a}=\frac{y}{x}[/tex3]
[tex3]x=\frac{ay}{h}[/tex3]

A área da fatia vale:
[tex3]A=\frac{x^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{a^2 y^2\sqrt{3}}{4h^2}[/tex3]

O volume total é dado pela integral definida:

[tex3]V=\int_0^h\frac{a^2 y^2\sqrt{3}}{4h^2}\,dy[/tex3]
[tex3]V=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4h^2}\int_0^hy^2\,dy[/tex3]
[tex3]V=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4h^2}\cdot \frac{h^3}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot a^2h}[/tex3]

Se tiver dúvidas pode perguntar!
Abraço.