IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2004) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[Flavio2008]

Se o triângulo [tex3]ABC[/tex3] da figura abaixo é equilátero de lado [tex3]a,[/tex3] então a medida de [tex3]QM[/tex3] em função de [tex3]a[/tex3] e [tex3]x[/tex3] é

• 

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a) [tex3]\frac{3a-x}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3a-x}{8}[/tex3]
c) [tex3]\frac{8x+3a}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{9x-3a}{8}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi

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Tracei a bissetriz do ângulo de [tex3]60^\circ[/tex3] do ponto [tex3]P.[/tex3] Formou-se mais um triângulo retângulo e surgiu o triângulo equilátero [tex3]PAM .[/tex3] Já que ele é equilátero e [tex3]PQ[/tex3] é sua altura, [tex3]QM[/tex3] vale [tex3]\frac{x}{2}.[/tex3]
Encontrei o valor de [tex3]MN[/tex3] a partir do triângulo retângulo [tex3]PMN[/tex3] de cateto [tex3]PM[/tex3] igual a [tex3]x.[/tex3] Logo [tex3]MN = \frac{x \sqrt{3}}{3}.[/tex3]
Então apliquei semelhança entre os triângulos [tex3]MNB[/tex3] e [tex3]PAQ.[/tex3]

• [tex3]\frac{PA}{MB} = \frac{PQ}{MN} \Rightarrow \frac{x}{a-x} = \frac{3x \sqrt{3}}{2x \sqrt{3}} \Rightarrow 5x = 3a \Rightarrow x = \frac{3a}{5}[/tex3]

Acima já tinha descoberto o valor de [tex3]QM[/tex3] que é [tex3]\frac{x}{2}.[/tex3]
Aí é só substituir nas alternativas e a que mantiver a igualdade é a verdadeira. Só pra adiantar, aqui deu a alternativa (b).

Acho que é isso, té +.

[petrasMOD]

Flavio2008,
A figura não está correta.
A alternativa correta seria a "d"

[tex3]\mathsf{MB = a-x\\
\triangle MNB: sen30^o = \frac{BN}{a-x} \implies BN = \frac{a-x}{2}\\
CN = a - BN = a-(\frac{a-x}{2}) = \frac{a+x}{2}\\
\triangle CPN: sen30^o = \frac{CP}{\dfrac{a+x}{2}} \implies CP = \frac{a+x}{4}\\
AP = a - CP = a-(\frac{a+x}{4})=\frac{3a-x}{4}\\
\triangle PAQ: sen30^o = \frac{AQ}{\dfrac{3a-x}{4}} \implies AQ = \frac{3a-x}{8}\\
QM = x - AQ = x - (\frac{3a-x}{8})=\boxed{\frac{9x-3a}{8}}{}




}[/tex3]