Pré-Vestibular ⇒ Quadrados perfeitos Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Seja [tex3]n[/tex3] o menor inteiro positivo para o qual existem 1998 quadrados perfeitos comprendidos entre [tex3]n[/tex3] e [tex3]2n[/tex3].
A soma dos algarismos de [tex3]n[/tex3] é igual a:

a) 13 b) 26 c) 27 d) 28 e) 32

[Alexandre_SC]

seja o sistema
[tex3]\begin{cases}
n = a^2 \\
2n \geq (a+1997)^2
\end{cases}[/tex3]

[tex3]2n - n \geq 3994\,a+3988009[/tex3]

[tex3]a^2 - 3994\,a-3988009 \geq 0[/tex3]

[tex3]a \geq (1+ \sqrt 2)1997[/tex3]

o valor nummérico da solução é aproximadamente 4821.18448

n = a² aproximadamente 23243819.83

a resposta é 2+3+2+4+3+8+2+0

deu 24 deve estar errado. mas é idéia


deve estar errado

[Thadeu]

Paulo, eu tive uma idéia para essa questão, baseado em uma observação:

A seqüência dos "quadrados" dos 10 prímeiros números inteiros positivos é 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Reparando na seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Entre os quadrados dos números 1 e seu dobro 2 (1 e 4), não existem quadrados

Entre os quadrados dos números 2 e seu dobro 4 (4 e 16), existe apenas um quadrado (9)

Entre os quadrados dos números 3 e seu dobro 6 (9 e 36), existem dois quadrado (16 e 25)

Entre os quadrados dos números 4 e seu dobro 8 (16 e 64), existem três quadrados (25, 36 e 49)

Entre os quadrados dos números 5 e seu dobro 10 (25 e 100), existem quatro quadrados (36, 49, 64 e 81)

[Thadeu]

Paulo, eu tive uma idéia para essa questão, baseado em uma observação:

A seqüência dos "quadrados" dos 10 prímeiros números inteiros positivos é 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Reparando na seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

I - Entre os quadrados dos números 1 e seu dobro 2 (1 e 4), não existem quadrados

II - Entre os quadrados dos números 2 e seu dobro 4 (4 e 16), existe apenas um quadrado (9)

III - Entre os quadrados dos números 3 e seu dobro 6 (9 e 36), existem dois quadrado (16 e 25)

IV - Entre os quadrados dos números 4 e seu dobro 8 (16 e 64), existem três quadrados (25, 36 e 49)

V - Entre os quadrados dos números 5 e seu dobro 10 (25 e 100), existem quatro quadrados (36, 49, 64 e 81)

Repare que a quantidade de quadrados existentes entre um "número n" e seu dobro sempre será esse "número n" subtraído de uma unidade
I --> 1 - 1 = 0 quadrados
II --> 2 - 1 = 1 quadrado
III --> 3 - 1 = 2 quadrados
IV --> 4 - 1 = 3 quadrados
V --> 5 - 1 = 4 quadrados

Então, entre n e 2n, existem n - 1 quadrados, logo, n - 1 = 1998 --> n = 1999

1 + 9 + 9 + 9 = 28

Resposta d