IME / ITA ⇒ (EN - 1999) Derivada: Função de Duas Variáveis Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Um míssil, lançado verticalmente de uma fragata, é rastreado por uma estação de radar localizada a 3.000 milhas do ponto de lançamento. Sabendo-se que em um certo instante a distância do míssil à estação de radar é de 5.000 milhas e que esta distância está aumentando à taxa de 5.000 mi/h, podemos afirmar que a velocidade vertical do míssil, neste instante é de:
a) 4100 mi/h
b) 5250 mi/h
c) 5750 mi/h
d) 6100 mi/h
e) 6250 mi/h

[fraga.ime]

Trata-se de uma questão típica de Cálculo envolvendo taxas de variação.
Seja [tex3]z[/tex3] a distância do míssil à estação de radar , seja [tex3]x[/tex3] a distância da estação de radar ao ponto de lançamento e seja [tex3]y[/tex3] a distância do míssil ao ponto de lançamento. Trata-se de uma relação pitagórica:
I) [tex3]z^{2}=y^{2}+x^{2}[/tex3]

Tomando a derivada temporal (derivando em relação ao tempo ambos os lados da equação):
II) [tex3]2z\frac{dz}{dt}=2y\frac{dy}{dt}+2x\frac{dx}{dt}[/tex3]

Mas como a distância [tex3]x[/tex3] é invariável com o tempo então temos que:
[tex3]\frac{dx}{dt}=0[/tex3]

Temos ainda :
[tex3]\frac{dz}{dt}=5000[/tex3] (distância do míssil ao radar variando à taxa de 5000 mi/h)
[tex3]\frac{dy}{dt}=v[/tex3]

Substituindo e resolvendo II)
[tex3]2z\frac{dz}{dt}=2y\frac{dy}{dt}[/tex3]
[tex3]2.5000.5000 = 2.4000.v[/tex3]
[tex3]v = 6250 mi/h[/tex3]

letra e)