Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Potenciação

[barbarahass]

Se [tex3]4^{16}.5^{25} = \alpha . 10^n,[/tex3] com [tex3]1 \leq \alpha \lt1 0,[/tex3] então [tex3]n[/tex3] é igual a:

a) [tex3]24[/tex3]
b) [tex3]25[/tex3]
c) [tex3]26[/tex3]
d) [tex3]27[/tex3]
e) [tex3]28[/tex3]

[Chris]

• [tex3]4^{16}.5^{25} = \alpha . 10^n \Rightarrow (2^2)^{16}\cdot 5^{25} = \alpha \cdot 10^n \Rightarrow 2^{32}\cdot 5^{25} = \alpha\cdot 10^{n}[/tex3]

Como precisamos formar um [tex3]10^n[/tex3] e sei que [tex3]10 = 2\cdot 5,[/tex3] quebrarei o [tex3]2[/tex3] de forma que ele tenha o expoente igual ao cinco [tex3]([/tex3] no caso [tex3]25):[/tex3]

• [tex3]2^{32}\cdot 5^{25} = \alpha \cdot 10^n \Rightarrow 2^7 \cdot 2^{25}\cdot 5^{25} = \alpha \cdot 10^n \Rightarrow 2^7 \cdot 10^{25} = \alpha\cdot 10^n[/tex3]

Neste caso, [tex3]\alpha = 128,[/tex3] o que não é possível pelo enunciado do exercício, pois [tex3]1\leq \alpha \lt 10.[/tex3] Então, basta transformar o [tex3]128[/tex3] em [tex3]1,28.10^2 .[/tex3] Portanto:

• [tex3]1,28 \cdot 10^2 \cdot 10^{25} = \alpha \cdot 10^n \Rightarrow 1,28\cdot 10^{27} = \alpha \cdot 10^n ,[/tex3]

o que resulta

• [tex3]\alpha = 1,28[/tex3] e [tex3]n = 27.[/tex3]

Alternativa (d).