Ensino Superior ⇒ Regras de Derivação Tópico resolvido

[NelsonNNY]

Determine a função derivada da seguinte função:

[tex3]f(x)\,=\,\sqrt[3]{\frac{3}{x^{2}}}[/tex3]

Gabarito:

---

[tex3]f'(x)\,=\,-\frac{2\sqrt[5]{3}}{5}\,\cdot\,x^{-\frac{7}{5}}[/tex3]

Como que eu chego nesse resultado, me ajudem por favor?
Obrigado!

[olgario]

Olá NelsonNNY.

Você tem a certeza que o enunciado que postou está correto ? O índice da raiz é mesmo três ? Ou seja, raiz cubica ?
[tex3]y=\sqrt[3]{\frac{3}{x^2}}[/tex3].

Repare que você dá como solução: -2 Raiz (5ª) de 3 etc.

[tex3]-\frac{2\sqrt[5]{3}}{5}.x^{-\frac{7}{5}}[/tex3]

Aconselho que reveja o enunciado.

[micro]

[tex3]y=\sqrt[3]{\frac{3}{x^2}}=\left(\frac{3}{x^2}\right)^\frac{1}{3}[/tex3]

Usando a regra da cadeia temos:

[tex3]y'=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{x^2}\right)^{-\frac{2}{3}}

\left(\frac{{x^2.0-3.x}}{x^4}\right)=\frac{1}{3}

\left(\frac{3}{x^2}\right)^{-\frac{2}{3}}.
\left(\frac{-3x}{x^4}\right)=

\frac{-3}{3x^3}. \left(\frac{3}{x^2}\right)^{-\frac{2}{3}}
=-\frac{1}{x^3}.\left(\frac{3}{x^2}\right)^{-\frac{2}{3}}[/tex3]

[olgario]

Olá NelsonNNY.

Consegui chegar na sua solução. Mas fazendo uma alteração do enunciado de raiz cúbica para (raiz 5ª). Pois só assim a solução que você postou se concretiza.
Das duas uma. Ou você se enganou ao transcrever o enunciado aqui para o fórum, e trocou o 5 por um 3, ou o enunciado ou a solução do livro de onde você sacou a questão estão erradas.
Mas vamos admitir, que você ao digitar, inadvertidamente cometeu um pequeno lapso, e trocou o 5 por um 3. Acontece a qualquer um.

[tex3]f(x) = y= \sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}[/tex3]

Dada a expressão genérica [tex3]y=u^m[/tex3] que representa uma potência. E sendo qualquer raiz transformável em potência, a fórmula a aplicar para a resolução da sua derivada é dada por:

[tex3]y^,= m\cdot u^{m-1}\cdot u^,[/tex3]

Mas, dado que temos um quociente como radicando, e a sua derivada [tex3]u^`[/tex3] entra na fórmula, dada acima, temos que a encontrar. Para tal, vamos fazer uso da regra da derivada do quociente.

No radicando temos o quociente [tex3]\frac{3}{x^2}[/tex3]. Representemos este quociente pela expressão genérica: [tex3]y=\frac{u}{v}[/tex3]

A fórmula para a sua derivada é dada por:

[tex3]y^,=\frac{v\cdot u^,-u\cdot v^,}{v^2}[/tex3]. Aplicando os valores concretos a esta fórmula temos:

[tex3]y^, = \frac{x^2\cdot 0-3(2x)}{(x^2)^2}[/tex3]. Efetuando os cálculos obtemos [tex3]y'=-\frac{6}{x^3}[/tex3].

Podemos agora desenvolver a fórmula para a derivada de uma potência ou raiz: [tex3]y'=m\cdot u^{m-1}\cdot u^,[/tex3]

Seja então:[tex3]f(x)=y=\sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}[/tex3]

Transformando em potência temos:

[tex3]y=\(\frac{3}{x^2}\)^{\frac{1}{5}}[/tex3]

Aplicando os valores da função à fórmula e desenvolvendo vem:

[tex3]y^,=\frac{1}{5}\(\frac{3}{x^2}\)^{\frac{1}{5}-1} \cdot \(-\frac{6}{x^3}\)[/tex3]

[tex3]y^,=\frac{1}{5}\(\frac{3}{x^2}\)^{-\frac{4}{5}} \cdot \(-\frac{6}{x^3}\)[/tex3]

[tex3]y^,=\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\(\frac{3}{x^2}\)^{\frac{4}{5}}}\cdot \(-\frac{6}{x^3}\)[/tex3]

[tex3]y^,=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{\(3\cdot x^{{-2}}\)^{\frac{4}{5}}}\cdot \(-\frac{6}{x^3}\)[/tex3]

[tex3]y^,=\frac{-6}{5^\cdot 3^{\frac{4}{5}}\cdot x^{^{{-\frac{8}{5}}}}\cdot x^3}[/tex3]

[tex3]y^, =-\frac{2 \cdot 3 }{5\cdot 3^{\frac{4}{5}}\cdot x^{\frac{7}{5}}}[/tex3]

[tex3]y^,=-\frac{2 \cdot 3^1 \cdot 3^{-\frac{4}{5}}}{5 \cdot x^{\frac{7}{5}}}[/tex3]

[tex3]y^,=-\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot x^{\frac{7}{5}}}[/tex3]

[tex3]y^,=-\frac{2\cdot \sqrt[5]{3^1}}{5 \cdot x^{\frac{7}{5}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{y^,=-\frac{2\cdot \sqrt[5]{3}}{5}\cdot x^{^{-\frac{7}{5}}}}[/tex3]

E deste modo, chegámos ao resultado que postou.


Ou, de outro modo mais fácil:

[tex3]f(x)=\sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}[/tex3]

[tex3]f(x)=\sqrt[5]{3} \cdot x^{^{-\frac{2}{5}}}[/tex3]

E, como [tex3]\frac{dx^n}{dx}= n\cdot x^{^{n-1}}[/tex3]

[tex3]\frac{df(x)}{dx}=\frac{d\(\sqrt[5]{3}\cdot x^{-\frac{2}{5}}\)}{dx}=\sqrt[5]{3} \cdot \frac{dx^{-\frac{2}{5}}}{dx}=\sqrt[5]{3} \cdot \(-\frac{2}{5}\) \cdot x^{^{-\frac{2}{5}-1}}=\boxed{-\frac{2\cdot \sqrt[5]{3}}{5} \cdot x^{-\frac{7}{5}}}[/tex3]

Espero te-lo ajudado.

Abraço
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Tentar não é conseguir. Mas todos os que conseguiram tentaram.