Pré-Vestibular ⇒ (UNIFAL) Número de Divisores Positivos de um Inteiro Tópico resolvido

[Doug]

Seja [tex3]x=3600.[/tex3] Se [tex3]p[/tex3] é o número de divisores naturais de [tex3]x,[/tex3] e [tex3]q[/tex3] é o número dos divisores naturais pares de [tex3]x,[/tex3] então é correto afirmar que:

a) [tex3]p=45[/tex3] e [tex3]q=36[/tex3]
b) [tex3]p=36[/tex3] e [tex3]q=45[/tex3]
c) [tex3]p=16[/tex3] e [tex3]q=10[/tex3]
d) [tex3]p=45[/tex3] e [tex3]q=12[/tex3]
e) [tex3]p=16[/tex3] e [tex3]q=34[/tex3]

[Karl Weierstrass]

A decomposição canônica de [tex3]3600[/tex3] é:

• [tex3]3600 = 2^4\,\cdot\, 3^2\, \cdot \,5^2[/tex3]

Logo, o número de divisores naturais de [tex3]3600[/tex3] é:

• [tex3]p=(4+1)(2+1)(2+1) = 45.[/tex3]

Para calcularmos quantos são os divisores pares, basta observarmos que dentre os fatores [tex3]2^0,\, 2^1,\, 2^2,\, 2^3\, \text{e}\, 2^4,[/tex3] apenas [tex3]2^0[/tex3] faz com que o produto [tex3]2^{\alpha}\cdot 3^{\beta}\cdot 5^{\gamma}[/tex3] seja ímpar. Desse modo, o número de divisores naturais pares de [tex3]3600[/tex3] é:

• [tex3]q=4\cdot (2+1)\cdot (2+1)=36.[/tex3]

[tex3]\diamond[/tex3] Decomposição canônica de um inteiro [tex3]n:[/tex3]

• [tex3]n= p_1^{k_1}\,\cdot\, p_2^{k_2}\,\cdot\, \ldots\,\cdot\, p_r^{k_r}[/tex3]

com [tex3]p_1,\, p_2,\, \cdots,\,p_r[/tex3] primos distintos e [tex3]k_1,\, k_2,\, \cdots,\,k_r[/tex3] inteiros positivos.

[tex3]\diamond[/tex3] Número de divisores positivos de um inteiro positivo [tex3]n=p_1^{k_1}\,\cdot\, p_2^{k_2}\,\cdot\, \ldots\,\cdot\, p_r^{k_r}[/tex3]:

• [tex3]D(n)=(k_1+1)\,\cdot\,(k_2+1)\,\cdot\,\ldots\,\cdot(k_r+1).[/tex3]

A demonstração dessa fórmula utiliza a seguinte idéia:

Um número primo [tex3]p[/tex3] tem como divisores positivos apenas [tex3]1[/tex3] e [tex3]p.[/tex3]
[tex3]p^2[/tex3] tem como divisores positivos apenas [tex3]1,[/tex3] [tex3]p[/tex3] e [tex3]p^2.[/tex3]
[tex3]p^k[/tex3] tem [tex3]1, \,p,\, \ldots,\, p^{k-1},\, p^k[/tex3] como divisores positivos. Logo, [tex3]p^k[/tex3] tem [tex3]k+1[/tex3] divisores positivos.

Exemplo: Pelo princípio multiplicativo (análise combinatória), o inteiro [tex3]n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}[/tex3] tem [tex3](k_1+1)\,\cdot\,(k_2+1)[/tex3] divisores positivos.

[Doug]

Karl Weierstrass,

Muito obrigado.