Física I ⇒ Roldana Tópico resolvido

[gabrielbpf]

Olá...

Ainda não concordo com a solução acima. Posso, porém, estar enganado, logicamente.

Não entendi, por exemplo, a aplicação da segunda lei de Newton para a plataforma [tex3](2T=5ma_p)[/tex3], pois, visto que não há atrito entre o bloco e a plataforma (a situação é ideal), acredito que a equação correta seria [tex3]2T=4ma_p[/tex3].

Assim, vou postar minha resolução:

A aceleração para o bloco A será dada por [tex3]a=\frac{F}{m_A}=\frac{T}{m}[/tex3]
A aceleração para a plataforma será dada por [tex3]a=\frac{2T}{4m}=\frac{T}{2m}[/tex3]
A aceleração relativa entre bloco e plataforma será dada por [tex3]a_{rel}=\frac{T}{m}+\frac{T}{2m}=\frac{3T}{2m}[/tex3]

Aplicando a segunda lei de Newton para o sistema de polias, teremos: [tex3]2mg=3ma \Leftrightarrow a_{\text{sistema}}=\frac{2g}{3}[/tex3].

Logo, para o bloco B: [tex3]2mg-T=2ma_{\text{sistema}} \Leftrightarrow T=2mg-2m\cdot \frac{2g}{3} \Leftrightarrow T=\frac{2mg}{3}[/tex3]

Logo: [tex3]a_{rel}=\frac{3\cdot \frac{2mg}{3}}{2m}=\frac{6mg}{3}\cdot \frac{1}{2m}=g[/tex3]
Então: [tex3]t=\sqrt\frac{2x}{a}=\sqrt\frac{2L}{g}[/tex3]

Talvez haja algum erro matemático ou conceitual, mas acredito que seja isso. Abraços.

[aleixoreis]

gabrielbpf:
O atrito entre [tex3]A[/tex3] e a plataforma existe mas, é desprezível de acordo com o enunciado e por isso não é levado em conta.
Porém, [tex3]A[/tex3] está em contato com a plataforma e desliza sobre a mesma.
Assim sendo a força [tex3]2T[/tex3] movimenta a plataforma e [tex3]A[/tex3] havendo então, uma massa total de [tex3]4m+m=5m[/tex3] que é levada para a esquerda.
As acelerações são [tex3]a_a\,\,,a_b\,\,e\,\,a_p[/tex3] porque [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e a plataforma tem massas diferentes e estão sob a ação de forças também diferentes.

Espero ter explicado o que penso a contento.
[ ]'s.

[gabrielbpf]

aleixoreis:
Entendo que devido ao contato entre [tex3]A[/tex3] e a plataforma, posso estar enganado em minha resolução. Porém, acredito que devido à ausência de atrito (desprezível, de acordo com o enunciado), a "tendência inercial" da plataforma não é alterada, ou seja, a constante de proporcionalidade da segunda lei de Newton (no caso, a massa) não será modificada. Além disso, creio que a aceleração dos dois blocos é igual, pois ambos então ligados ao mesmo fio, que é inextensível e de massa desprezível, ou seja, a força resultante nele é necessariamente nula [tex3](F_r=ma \Rightarrow m=0 \Rightarrow F_r=0)[/tex3]. Sendo assim, a tração é constante em todo o fio (pois assim, as forças se anularão) e, por consequência, a aceleração será igual em quaisquer dois pontos dele.
Espero não estar sendo cabeça-dura, mas é o que penso a respeito. Espero que apareçam mais pessoas para a discussão. Abraços.

[theblackmamba]

Olá a todos,

Gabriel: A aceleração dos blocos seriam iguais se a aceleração da plataforma fosse nula. E se aceleração desta fosse nula então a tração seria nula. Vou mostrar o porquê à frente:

Espero que compreendam a minha solução com base neste exercício respondido pelo nosso amigo FilipeCaceres: viewtopic.php?t=21012

[tex3]L_i=\ell_B+\ell_A+2\ell_P[/tex3]
[tex3]L_f=(\ell_B+x_B)+(\ell_A-x_A)+2\cdot (\ell_P-x_P)[/tex3]

Igualando:

[tex3](\ell_B+x_B)+(\ell_A-x_A)+2\cdot (\ell_P-x_P)=\ell_B+\ell_A+2\ell_P[/tex3]
[tex3]x_P=\frac{x_B-x_A}{2}[/tex3]

De onde tiramos:
[tex3]\boxed{a_P=\frac{a_B-a_A}{2}}[/tex3]. Diferente do que foi encontrado pelo amigo aleixoreis.

[tex3]a_B=\frac{2mg-T}{2m}[/tex3]
[tex3]a_A=\frac{T}{m}[/tex3]
[tex3]a_P=\frac{2T}{5m}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]2\cdot \frac{2T}{5\cancel{m}}=\frac{2mg-T}{2\cancel{m}}-\frac{T}{\cancel{m}}[/tex3]
[tex3]8T=10mg-5T-10T[/tex3]
[tex3]23T=10mg[/tex3]
[tex3]\boxed{T=\frac{10mg}{23}}[/tex3]

A aceleração relativa entre a plataforma e o bloco A:
[tex3]a_R=a_A+a_P[/tex3]
[tex3]a_R=\frac{10g}{23}+\frac{2}{5}\cdot \frac{10g}{23}[/tex3]
[tex3]\boxed{a_R=\frac{14g}{23}}[/tex3]

Portanto,

[tex3]L=\frac{a_R\cdot t^2}{2}[/tex3]
[tex3]t^2=2L\cdot \frac{23}{14g}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{t=\sqrt{\frac{23L}{7g}}}}[/tex3]

Não sei se ainda está correto. Vejam o que vocês acham

Abraços.

[gabrielbpf]

Olá, theblackmamba.

Eu não vou entrar na discussão acerca da relação entre as acelerações, mas já estou convencido de que a aceleração de A não é igual a de B devido à aceleração da plataforma. Realmente, como o fio é inextensível, elas não podem ser iguais neste caso. Este post é pra tratar da inércia da Plataforma e da lei fundamental da dinâmica.

É que acredito que a aplicação dessa lei para a plataforma deveria ser [tex3]2T=4m\cdot a_p[/tex3]. Pensemos: Se não há atrito entre A e a P, a massa de A não interfere na inércia de P e então não ser incluída na constante de proporcionalidade de Segunda Lei de Newton.

Vou dar um exemplo matemático para o caso em que considero que devemos somar as massas para o cálculo, para tentar provar que este não é um deles:

Quando há atrito entre dois corpos e o que está em contato com o chão desliza com aceleração constante num movimento progressivo acelerado (sem atrito, suponhamos), o que está em cima aplica naquele uma força de atrito igual a que sofre, mas de sentido oposto (Terceira Lei de Newton).

Assim, para o corpo que desliza: [tex3]F-F_{at}=m_1\cdot a[/tex3]

Para que seja verdadeiro que [tex3]F=(m_1+m_2)\cdot a[/tex3] é necessário que a aceleração relativa entre esses corpos seja nula, pois assim teríamos:

[tex3]a_1=a_2=a \\ \\ F_{at}=m_2\cdot a \\ F-F_{at}=m_1\cdot a \\ \\ F=(m_1+m_2)\cdot a[/tex3]

Caso haja relação relativa, como é o caso da questão em discussão, teríamos:

[tex3]\vec{a}_1-\vec{a}_2=\vec{a}_{rel} \\ \\ F_{at}=m_2\cdot a_2 \\ F-F_{at}=m_1\cdot a_1 \\ \\ F=m_1\cdot a_1-m_2\cdot a_2 \\ \\ \text{Se} \, \, \, F_{at}=0 \, \, (\text{Entre os corpos, como entre A e P}): \\ \\ F=m_1\cdot a_1-0=m_1\cdot a_1[/tex3]

Se estendermos esse raciocínio à plataforma da questão, teremos:

[tex3]F_r=m_p\cdot a_p \Leftrightarrow 2T=4m\cdot a_p[/tex3]

Espero, digo mais uma vez, não estar sendo teimoso. Mas gostaria de saber o que pensa a respeito.

Abraços.

[theblackmamba]

Olá gabriel,

Consegui compreender a sua ideia e analisei os erros. Vou ter que concordar com você !

Para [tex3]2T=4m\cdot a_P[/tex3] acharemos [tex3]\boxed{t=\sqrt{\frac{10L}{3g}}}[/tex3]

Espero que dessa vez a resposta esteja certa
Abraço.

Diagrama do corpo livre:

dcl.png (2.78 KiB) Exibido 907 vezes

[Radius]

Até agora ninguém provou a parte crucial do problema: a relação entre as acelerações. Pensei assim:

ROL1.png (10.09 KiB) Exibido 901 vezes

ROL2.png (15.14 KiB) Exibido 901 vezes

[tex3]L_1+L_2+L_3=(L_1+x)+(L_2-y)+(L_3-z)[/tex3]

[tex3]x-y-z=0[/tex3]

Aqui pensei o seguinte: a polia que está ligada à plataforma se desloca uma distância [tex3]z-y[/tex3].
Podemos adicionar [tex3]2z[/tex3] nos lados da equação:

[tex3]x+(z-y)=2z[/tex3]

e agora sim derivar para obter:

[tex3]\boxed{a_B+a_P=2a_A}[/tex3]

O que acham?

[manerinhu]

resolvendo pelo referencial não inercial da caixa 4m eu achei [tex3]\sqrt{\frac{10L}{3g}}[/tex3]
acredito que seja essa a resposta

[Radius]

esqueçam a minha última mensagem, viajei na maionese. A relação entre as acelerações será

[tex3]a_P=\frac{a_B-a_A}{2}[/tex3]

e a resposta deve ser [tex3]t=\sqrt{\frac{10L}{3g}}[/tex3]

[Usuário Excluído 30973]

Estou tentando fazer essa questão mas não consigo chegar no gab e não vejo onde estou errando. Alguém consegue me ajudar a achar meu erro, por favor?
Na minha lista, o gab diz [tex3]t=\sqrt\frac {L}{5}[/tex3]. Estou encontrando [tex3]t=\sqrt\frac{8L}{3g}[/tex3].