IME / ITA ⇒ (Simulado IME) Valor Mínimo de Funções Tópico resolvido

[theblackmamba]

Se os números reais [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] satisfazem [tex3](x+5)^2+(y-12)^2=14^2[/tex3], então o menor valor de [tex3]x^2+y^2[/tex3] é:

[tex3]a)\,\,2\\b)\,\,1\\c)\,\,1/2\\d)\,\,\sqrt{3}\\d)\,\,\sqrt{2}[/tex3]

Eu consegui chegar na solução usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Porém ela ficou um pouco longa e com número grandes para lidar facilmente. Acredito que haja uma solução mais fácil já que é possível tirar do enunciado coisas legais, como: o valor desejado é em outras palavras "qual a menor valor do quadrado da distância de um ponto mais próximo da origem".
Abraço.

Resposta

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[tex3]b)[/tex3].

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Uma solução simples seria usado geometria.

O que se deseja é a menor circunferência centrada na origem e que seja tangente a circunferência dada que é centrada em [tex3]C(-5,12)[/tex3] e de raio [tex3]R=14[/tex3].

simulado.png (9.77 KiB) Exibido 577 vezes

Da figura tiramos que
[tex3]r=R-d(O,A)[/tex3]
[tex3]r=14-\sqrt{5^2+12^2}[/tex3]
[tex3]r=1[/tex3]

Portanto, o menor valor desejado é
[tex3]\boxed{x^2+y^2=1}[/tex3]. Letra B

Abraço.