Pré-Vestibular ⇒ (UESC 2009) Equação Modular Tópico resolvido

[Leocondeuba]

Olá. Por Gentileza, gostaria de ajuda nesta questão. Obrigado

Sobre o conjunto-solução da equação [tex3]|x-2| - |2x-1|= - 1[/tex3], em [tex3]x\,\in\,\mathbb{R}[/tex3] , tem-se que é um conjunto

01) vazio.
02) unitário.
03) de dois elementos.
04) de três elementos.
05) infinito.

[jrneliodias]

Olá, Leocondeuba.

Inicialmente, devemos analisar o que acontece com os módulos. Pela definição:

[tex3]|x-2|=\begin{cases}\,\,\,\,\,\,x-2\,,\,\,\,se\,\,\,\,x\geq 2 \\\,-x+2\,,\,\,\,se\,\,\,\,x\leq 2 \end{cases}[/tex3]

[tex3]|2x-1|=\begin{cases}\,\,\,\,\,\,2x-1\,,\,\,\,se\,\,\,\,x\geq \frac{1}{2} \\\,-2x+1\,,\,\,\,se\,\,\,\,x\leq \frac{1}{2} \end{cases}[/tex3]

Então podemos analisar a diferença agora:

Tabela de sinais.png (6.82 KiB) Exibido 710 vezes

[tex3]1^\circ\,\,\,\text{caso}: \,\,x<\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]|x-2| - |2x-1|= - 1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,-3x+3=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=\frac{4}{3}[/tex3]

Porém, [tex3]x<\frac{1}{2}[/tex3], logo:

[tex3]\boxed{S_1=\left\{\,\emptyset\,\right\}}[/tex3]

[tex3]2^\circ\,\,\,\text{caso}: \,\,\frac{1}{2}\leq x<2[/tex3]

[tex3]|x-2| - |2x-1|= - 1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x+1=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=-2[/tex3]

Entretanto, [tex3]\frac{1}{2}\leq x<2[/tex3], assim:

[tex3]\boxed{S_2=\left\{\,\emptyset\,\right\}}[/tex3]

[tex3]3^\circ\,\,\,\text{caso}: \,\,x\geq 2[/tex3]

[tex3]|x-2| - |2x-1|= - 1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,3x-3=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=\frac{2}{3}[/tex3]

Todavia, [tex3]x\geq 2[/tex3], então:

[tex3]\boxed{S_3=\left\{\,\emptyset\,\right\}}[/tex3]


Portanto, a equação não possui solução.

Espero ter ajudado, abraço.

[Leocondeuba]

Obrigado pela resposta.