Pré-Vestibular ⇒ (UESC 2009) Soma de Funções Tópico resolvido

[Leocondeuba]

Dadas as funções reais [tex3]f(x)\, =\, x^3 \,-\, 6[/tex3] e [tex3]h(x)[/tex3], uma função inversível, tal que e [tex3]h\(\,\frac{1}{2}\,\)\,=\,2[/tex3] e [tex3]h(2)\, =\, 5[/tex3], então [tex3]f\,\(\,h^{-1}(2)\,\)\, +\, h\,\(f(2)\,\)[/tex3] é igual a

[tex3]01)\,\,-\frac{7}{8}[/tex3]
[tex3]02)\,\,-\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]03)\,\,\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]04)\,\,120[/tex3]
[tex3]05)\,\,124[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Leocondeuba.

[tex3]f(2)=(2)^3-6=2[/tex3]

Se [tex3]f(2)=2[/tex3] então [tex3]h(f(2))=h(2)[/tex3]

Note que se [tex3]h(x)=y[/tex3], então [tex3]h^{-1}(y)=x[/tex3], ou seja, a inversa pegará o resultado [tex3]y[/tex3] de [tex3]h(x)[/tex3] e transformará novamente em [tex3]x[/tex3]. Logo:

[tex3]h\left(\frac{1}{2}\right)=2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,h^{-1}(2)=\frac{1}{2}[/tex3]

Assim:

[tex3]f\left(h^{-1}(2)\right)+h(f(2))\,\,=\,\,f\left(\frac{1}{2}\right)+h(2)\,\,=\,\,\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3-6\right]+5\,\,=\,\,\frac{1}{8}-1\,\,[/tex3]

Portanto:

[tex3]\boxed{f\left(h^{-1}(2)\right)+h(f(2))=-\frac{7}{8}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.