Ensino Médio ⇒ Progressão Aritmética e Múltiplos de um Inteiro

[cHaD]

De 100 a 1000, quantos são os múltiplos de 2 ou 3 ?

[Chris]

Você pode fazer esse exercício por PA, mas existe um jeito mais simples de fazer, mas menos "bonito".

Comece dividindo 1000 por 2. Você achará quociente 500 e resto 0. Isso significa que há 500 múltiplos de 2 de 1 até 1000, e o último é 1000 (1000 - 0). Agora divida 100 por 2. Você achará quociente 50 e resto 0. Isso significa que já 50 múltiplos de 2 de 1 até 100, e o último é 100 (100 - 0). Portanto entre 100 e 1000 há 500 - 50 = 450 múltiplos de 2.

Agora o mesmo com 3. Comece dividindo 1000 por 3. Você achará quociente 333 e resto 1. Isso significa que há 333 múltiplos de 3 de 1 até 1000, e o último é 999 (1000 - 1). Agora divida 100 por 3. Você achará quociente 33 e resto 1. Isso significa que já 33 múltiplos de 3 de 1 até 100, e o último é 99 (100 - 1). Portanto entre 100 e 1000 há 333 - 33 = 300 múltiplos de 2.

Ou seja, aparentemente há 300 + 450 = 750 múltiplos de 2 e 3 entre 100 e 1000. O problema é que ao pegarmos os múltiplos de 2 e de 3, números que pegamos duas vezes. Esses são os múltiplos de 6 (mmc entre 2 e 3). Portanto precisamos ver quantos números pegamos duas vezes.

Comece dividindo 1000 por 6. Você achará quociente 166 e resto 4. Isso significa que há 166 múltiplos de 6 de 1 até 1000, e o último é 996 (1000 - 4). Agora divida 100 por 6. Você achará quociente 16 e resto 4. Isso significa que já 16 múltiplos de 6 de 1 até 100, e o último é 96 (100 - 4). Portanto entre 100 e 1000 há 166 - 16 = 150 múltiplos de 6.

Como pegamos esses duas vezes, basta tirá-los uma vez do total. Então, 750 - 150 = 600. Logo há 600 múltiplos de 2 e 3 entre 100 e 1000.

[cHaD]

Valeu ! Mas, queria saber por PA mesmo, pois estou estudando essa matéria.
Se alguem puder ajudar.

[Karl Weierstrass]

Múltiplos de [tex3]2[/tex3] (hipótese inclusive):

PA: [tex3]100,\, 102,\, \ldots,\, 1000[/tex3]

[tex3]a_n\,=\,a_1\,+\,(n\,-\,1)\,\cdot\, r_1[/tex3]

[tex3]a_1=100,\,a_n=1000[/tex3] e [tex3]r_1 = 2[/tex3]

Calcule [tex3]n[/tex3].

Múltiplos de [tex3]3[/tex3]:

Um número é divisível por [tex3]3[/tex3] quando a soma de seus algarismos é divisível por [tex3]3[/tex3]. Logo, é fácil ver que [tex3]102[/tex3] é o menor múltiplo de [tex3]3[/tex3] maior do que [tex3]100[/tex3].

Como determinar o maior múltiplo de [tex3]3[/tex3] menor do que [tex3]1000[/tex3]?

Divida [tex3]1000[/tex3] por [tex3]3[/tex3]. O resto é [tex3]1[/tex3]. Subtraia [tex3]1[/tex3] de [tex3]1000[/tex3] para achar [tex3]999[/tex3].

PA: [tex3]102,\, 105,\, \ldots,\, 999[/tex3]

[tex3]b_n\,=\,b_1\,+\,(n\,-\,1)\,\cdot\, r_2[/tex3]

[tex3]b_1=102,\,b_n=999[/tex3] e [tex3]r_2 = 3[/tex3]

Note que [tex3]102[/tex3] é múltiplo de [tex3]2[/tex3] e de [tex3]3[/tex3]. Logo, não podemos apenas somar os múltiplos de [tex3]2[/tex3] e de [tex3]3[/tex3], pois estaríamos contando duas vezes alguns números.
Os números múltiplos de [tex3]2[/tex3] e de [tex3]3[/tex3] são múltiplos de [tex3]6[/tex3].

Quantos são os múltiplos de [tex3]6[/tex3] no intervalo dado?

PA: [tex3]102,\, 108,\, \ldots,\, 996[/tex3]

(Divida [tex3]1000[/tex3] por [tex3]6[/tex3]. O resto é [tex3]4[/tex3]. Subtraia [tex3]4[/tex3] de [tex3]1000[/tex3])

[tex3]c_n\,=\,c_1\,+\,(n\,-\,1)\,\cdot\, r_3[/tex3]

[tex3]c_1=102,\,c_n=996[/tex3] e [tex3]r_3 = 6[/tex3]

Sejam:

[tex3]A[/tex3] o conjunto dos múltiplos de [tex3]2[/tex3].
[tex3]B[/tex3] o conjunto dos múltiplos de [tex3]3[/tex3].
[tex3]A\cap B[/tex3] o conjunto dos múltiplos de [tex3]6[/tex3].

Queremos calcular [tex3]n(A \cup B)[/tex3].

Pelo princípio da inclusão-exclusão, segue que:

[tex3]n(A \cup B)=n(A) + n(B)-n(A\cap B)[/tex3].

Os cálculos ficam pra você.

[cHaD]

Valeeu