Ensino Médio ⇒ (Noções de Matemática - Aref) Inequações Tópico resolvido

[eli]

Resolva nos Reais:

[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{11}(x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7}\leq 0[/tex3]

Gabarito:

---

[tex3]V= \{x\in \mathbb{R}|-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3} ou 3\leq x<6}\[/tex3]

[Auto Excluído (ID:8010)]

Sabemos que o denominador não pode ser igual a zero. Portanto, [tex3]x\neq -2[/tex3] e [tex3]x\neq 6[/tex3].

[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{11}(x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7}\leq 0[/tex3]
[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{11}(x^2-3)}{[(x-6)(x+2)]^7}\leq 0[/tex3]
[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{11}(x^2-3)}{(x-6)^7(x+2)^7}\leq 0[/tex3]
[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{4}(x^2-3)}{(x-6)^7}\leq 0[/tex3]

Agora coloca todas as raízes sobre o eixo:

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Pega um valor maior do que a maior raiz(que é 6) e veja se a expressão é positiva. Se a expressão for positiva, então todos os valores maiores que 6 também serão positivos.
Depois vai trocando os sinais como eu fiz na imagem. Então,

[tex3]x\in [-\sqrt{3};\sqrt{3}]\cup [3;6[[/tex3]
[tex3]\therefore V= \left\{x\in \mathbb{R}\,\,\big|-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3} \text{ ou } 3\leq x<6\right\}[/tex3]

Obs.: Eu não coloquei a raiz "-2" pois [tex3](x+2)^{4}[/tex3] sempre será positivo.