Ensino Fundamental ⇒ Sistema de Equações Irracionais

[Chris]

A soma de dois números é 21. Um deles mais a raiz quadrada do outro é igual a 9. Quais são os números?

a) 4 e 5
b) 14 e 7
c) 16 e 5
d) 12 e 9
e) 6 e 3

Esse problema proporciona duas maneiras de resolver. A primeira seria pelo seguinte sistema:

[tex3]x + y = 21[/tex3]
[tex3]x + \sqrt{y} = 9[/tex3]

Para resolver, basta multiplicar a primeira equação por -1 e somar as duas:

[tex3]{-}x - y = -1[/tex3]
[tex3]x + \sqrt{y} = 9[/tex3]

Soma: [tex3]{-}y + \sqrt{y} = -12 \Rightarrow \sqrt{y} = y - 12[/tex3]

Elevando dos dois lados ao quadrado temos:

[tex3]y = y^2 - 24y + 144[/tex3]

Resolvendo essa equação obtemos y = 16 ou y = 9. Mas y = 9 não conveem, pela segunda equação do sistema. Logoy = 16, x = 5.

Alternativa C

Mas como a questão é teste, podemos analisar as alternativas também. Se um dos números tem raiz quadrada, as únicas alternativas possíveis seriam A, C ou D. Mas em A a soma não dá 21 e D não satisfaz a segunda condição. Logo a alternativa correta é C.

[jacobi]

A soma de dois números é 21. Um deles mais a raiz quadrada do outro é igual a 9. Quais são os números?

um deles é [tex3]x[/tex3] e o outro é [tex3]21 - x[/tex3]
[tex3]x + \sqrt{21 - x} = 9[/tex3]
[tex3]\sqrt{21 - x} = 9 - x[/tex3] Elevemos ao quadrado
[tex3]21 - x = 81 - 18x + x^2[/tex3]
[tex3]x^2 - 17x + 60 = 0[/tex3]
[tex3]x_1 = \frac{17 + \sqrt{289 - 240}}{2}[/tex3]
[tex3]x_1 = 12[/tex3]
[tex3]x_2 = 5[/tex3]
Testando as soluções encontradas.
[tex3]12 + \sqrt{21 - 12} = 9[/tex3]
[tex3]12 + 3 = 15[/tex3] (FURADO)
[tex3]5 + \sqrt{21 - 5} = 9[/tex3]
[tex3]5 + 4 = 9[/tex3] (Jóia)

Logo, os números são 5 e 16. Letra C.