Física I ⇒ Momento de Inércia e Torque Tópico resolvido

[lecko]

Questão 17 - Uma polia, como mostrada na figura, tem um raio R e momento de inércia I. Por outro lado, o bloco de massa m tem um de seus lados conectado a uma mola de constante elástica K e o outro a uma corda de massa desprezível que passa pela polia. A polia e a superfície do plano inclinado não têm atrito. A polia é então, girada em sentido anti-horário, esticando a mola de uma distância d em relação a sua posição de equilíbrio. Então, a polia é solta do repouso. Calcule, qual será a velocidade angular da polia quando a mola estiver novamente em sua posição de equilíbrio.

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[micro]

Para achar a velocidade angular é preciso primeiramente calcular a aceleração angular da polia.

Usar a fórmula da relação entre torque e aceleração angular:
[tex3]\tau=I\alpha[/tex3]
Torque na roda, sendo [tex3]T[/tex3] a tensão na corda
[tex3]\tau=RT[/tex3]
Igualando temos:
[tex3]I\alpha=RT[/tex3]
[tex3]\alpha=\frac{RT}{I}[/tex3]

Agora basta aplicar a segunda lei de Newton para calcular a tensão [tex3]T[/tex3] na corda exercida pelo conjunto bloco+mola
[tex3]mg\sen \theta+kd-T=ma[/tex3]
[tex3]a=\frac{mg\sen \theta+kd-T}{m}[/tex3]

Como a aceleração linear da corda é igual a aceleração angular da roda deve-se usar a fórmula da relação entre velocidade angular e linear.
[tex3]\boxed{a=\alpha R}[/tex3]

Fundindo as 2 equações da aceleração nessa temos:

[tex3]\frac{mg\sen \theta+kd-T}{m}=

\frac{R^2T}{I}[/tex3]
[tex3]m R^2T=I\cdot (mg\sen \theta+kd-T)[/tex3]
[tex3]T=I\cdot (mg\sen \theta+kd-T)[/tex3]
[tex3]T=\frac{I(mg\sen \theta +kd)}{mR^2+I}[/tex3]

Substituindo na equação da aceleração angular temos:
[tex3]\alpha=\frac{RT}{I}=\frac{ R\left(\frac{I(mg\sen \theta +kd)}{mR^2+I}\right)}{I}=\frac{R(mg\sen \theta +kd)}{mR^2+I}[/tex3]

Já que o bloco desce em movimento acelerado até atingir a posição de equilíbrio, sendo que este percorre uma distância [tex3]d[/tex3] é só usar a equação de Torricelli para a velocidade angular
[tex3]V^2=V_0^2+2ad[/tex3]

[tex3]w^2=w_0^2+2\cdot \alpha\cdot d[/tex3]

Como o bloco e a polia parte do repouso temos
[tex3]w_0=0[/tex3]
[tex3]w^2=2\cdot \left(\frac{R(mg\sen \theta +kd)}{mR^2+I}\right)\cdot d[/tex3]
[tex3]\color {red}w={\sqrt{\frac{2Rd(mg\sen \theta+kd)}{mR^2+I}}}[/tex3]

[lecko]

Estava conferindo e só teve um erro, foi na fórmula:
[tex3]w^2=w_0^2+2.\alpha.d[/tex3], o correto dela é:

[tex3]w^2=w_0^2+2.\alpha.\phi[/tex3], temos por definição matemática que: [tex3]d=R.\phi \therefore \phi=\frac{d}{R}[/tex3]

Substituindo tudo no final o resultado é:
[tex3]\color {red}w={\sqrt{\frac{2d(mg\sen \theta+kd)}{mR^2+I}}}[/tex3]

[micro]

verdade, eu ia corrigir isso agora mas parece que você fez isso.

Não estou acostumado a usar radianos.