IME/ITA ⇒ (EsPcex) Polinômio Tópico resolvido

[BrunoCFS]

Seja a função complexa [tex3]P(x)=2x^{3}-9x^{2}+14x-5[/tex3]. Sabendo-se que [tex3]2+i[/tex3] é raiz de P, o intervalo I
de números reais que faz [tex3]P(x)<0[/tex3], para todo x I é.

a) [tex3]]-\infty ;\frac{1}{2}[[/tex3]
b) [tex3]]0;1[[/tex3]
c) [tex3]]\frac{1}{4};2[[/tex3]
d) [tex3]]0;+\infty [[/tex3]
e) [tex3]\left [-\frac{1}{4};\frac{3}{4} \right [[/tex3]

--------------------

Está vô tentando resolver assim. Mas sempre da errado.....>

[tex3]2x^{3}-9x^{2}+14x-5=(x-(2+i))\, .\, (x-(2-i))\, .\, (x-y)[/tex3]
[tex3]2x^{3}-9x^{2}+14x-5=(x-2-i)\, .\, (x-2+i)\, .\, (x-y)[/tex3]
[tex3]2x^{3}-9x^{2}+14x-5=x^{2}-2x+xi-2x+4-2i-xi+2i-i^{2}\, .\, (x-y)[/tex3]
[tex3]2x^{3}-9x^{2}+14x-5=x^{2}-4x+5\, .\, (x-y)[/tex3]
[tex3]2x^{3}-9x^{2}+14x-5=x^{3}-x^{2}y-4x^{2}+4xy+5x-5y[/tex3]
[tex3]2x^{3}-9x^{2}+14x-5=x^{3}+(-y-4)x^{2}+(4y+5)x-5y[/tex3]

Agora se eu fizer a igualdade de polinômios o "y" assumirá vários valores diferentes... o que não tem lógica.
Pois, o meu objetivo no final disso tudo, caso eu encontrasse a raiz "y" eu ia fazer o seguinte.

[tex3]x-y<0[/tex3]
[tex3]x<y[/tex3]

Tá certo minha forma de pensar para resolve-la ?
A partir daí não vai sair nada.....>
Como resolvo ela ?
Agradeço desde já.
Abraço !

[jrneliodias]

Olá, Bruno.

Podemos fazer por fatoração:

[tex3]2x^3-9x^2+14x-5[/tex3]

[tex3]2x^3-9x^2+4x+10x-5[/tex3]

[tex3]x(2x^2-9x+4)+10\left(x-\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3]x(2x-1)(x-4)+10\left(x-\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3]2x\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-4)+10\left(x-\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\left(x-\frac{1}{2}\right)[2x(x-4)+10][/tex3]

[tex3]\left(x-\frac{1}{2}\right)(2x^2-8x+10)[/tex3]

[tex3]2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2-i)(x-2+i)[/tex3]

Logo, outra raiz é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Abraço.

[Radius]

portanto temos a letra A como resposta.

[poti]

Você precisava multiplicar o segundo lado por [tex3]2[/tex3] para conseguir a resposta. O lado esquerdo tinha [tex3]2x^3[/tex3] enquanto o direito apenas [tex3]x^3[/tex3], pois você se esqueceu que na fatoração existe um coeficiente [tex3]a[/tex3] em [tex3]P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...[/tex3]. Perceba que o termo independente ficaria [tex3]-10y[/tex3] que, igualado a [tex3]-5[/tex3], chega em [tex3]y = \frac{1}{2}[/tex3]. Perceba que também daria certo tentando com qualquer outro coeficiente:

[tex3]2(4y + 5) = 14[/tex3]
[tex3]4y + 5 = 7[/tex3]
[tex3]\boxed{y = \frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]2(-y-4) = -9[/tex3]
[tex3]-2y - 8 = -9[/tex3]
[tex3]\boxed{y = \frac{1}{2}}[/tex3]

Abraço!

[ALANSILVA]

Fiz pelo Teorema de Briot-Ruffini
Se raiz de 2+i é raiz de P(x)=2x³-9x²+14x-5, o conjugado 2-i tbm é raiz, faz o teorema de Briot Ruffini e chega a

Q(x)= 2x²-x
P(x)= 2(x-a)(x-b)Q(x)
onde a e b são raízes
Q(x)=0
2x²-x=0
temos x=0 (não convém) e x=1/2
P(0)=-5, por isso 0 não convém

As raízes serão 2+i, 2-i e 1/2

[BrunoCFS]

Obrigado galera pela ajuda. E é verdade poti, esqueci do coeficiente "2" .
Mas quanto ao final da resolução, y é o valor da raiz... e essa informação que ele deu era para quê ?
[tex3]P(x)<0[/tex3]
Era para eu fazer isso ?
[tex3]x-\frac{1}{2}< 0[/tex3]
[tex3]x<\frac{1}{2}[/tex3]
Abraço !

[jrneliodias]

Sim, exatamente.

Queria os valores que faziam o polinômio ser negativo. Então temos que estudar o sinal. Porém o sinal do polinômio depende das raízes reais.

Abraço.