Olimpíadas ⇒ (AIME - 1989) Radiciação e Fatoração Tópico resolvido

[edu_vrb]

Calcule [tex3]\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}.[/tex3]

[Fernando Jaeger]

Seja [tex3]x =( 31 )( 29 )( 30 )( 28 ) + 1[/tex3]

• [tex3]x = (30 + 1)(30 - 1)(29 + 1)(29 - 1) + 1\\
  x = (30^2 - 1)(29^2 - 1) + 1\\
  x = (30^2)(29^2) - 30^2 - 29^2 + 2\\
  x = (30^2)(29^2) - 30^2 - (30 - 1)^2 + 2\\
  x = (30^2)(29^2) - 30^2 - (30^2 - 59) + 2\\
  x = (30^2)(29^2) - 2\cdot 30^2 + 2.30 + 1\\
  x = (30^2)(29^2) - 2\cdot 30(30 - 1) + 1\\
  x = (30^2)(29^2) - 2\cdot 29\cdot 30 + 1\\
  x = (30\cdot 29 - 1)^2[/tex3]

Portanto, o resultado do problema será [tex3]30\cdot 29 - 1 = 869[/tex3]

[italoemanuell]

Ola para todos!

Vi essa questão e achei muito interresante, porque me lembrei da generalização dela (época que fazia olimpíadas).

1) Podemos começar com um exemplo trivial:

Quanto é o valor de: [tex3]\sqrt {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+1} ?[/tex3]

Simples, a resposta é [tex3]5[/tex3]. Observe que [tex3]5=2\cdot 3 -1[/tex3]

2) Mostremos agora para um caso geral, ou seja, que o produto de quatro inteiros consecutivos mais um sempre é um quadrado perfeito!

Seja [tex3]x[/tex3] um número inteiro e sejam [tex3]x+1,\,x+2 \text{ e } x+3[/tex3] seus consecutivos.

Então, o nosso caso consiste em calcular o valor da expressão:

[tex3]\sqrt {x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1}[/tex3] e consequentemente provar que a resposta é igual a [tex3](x+2)(x+1) -1= x^2+3x+1[/tex3], como no exemplo anterior.

[DiegoNunes]

• [tex3]\begin{array}{l}
  \sqrt {31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 + 1} = x \\
  x^2 = 1 + 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \\
  x^2 - 1 = 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \\
  (x + 1)(x - 1) = 31 \cdot 28 \cdot 30 \cdot 29 \\
  (x + 1)(x - 1) = 868 \cdot 870 \\
  \text{Logo: } x = 869 \\
  868 \cdot 870 = (869 - 1)(869 + 1) \\
  \end{array}[/tex3]

Logo a raiz é [tex3]869.[/tex3]
Falow

[Rogério Moraes]

Olá Thadeu e Diego,

Eu resolvi de um modo diferente, que permite generalizar este problema. Como estamos numa seção de desafios de Matemática, segue uma proposta de generalização (problema 1 abaixo) e duas aplicações particulares (problemas 2 e 3 abaixo).

1. Dada a progressão aritmética real [tex3](a_1, a_2, a_3, a_4)[/tex3], de primeiro termo [tex3]a_1[/tex3] e razão [tex3]R[/tex3], calcule [tex3]\sqrt{a_1 a_2 a_3 a_4 + R^4}[/tex3] em função de [tex3]a_1[/tex3] e [tex3]R.[/tex3]

2. Aplique a fórmula encontrada no problema 1 para calcular [tex3]\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1},[/tex3] como foi proposto no problema original.

3. Aplique a fórmula encontrada no problema 1 para calcular [tex3]\sqrt{(93)(100)(107)(114)+2401}.[/tex3]

[DiegoNunes]

Olá Rogério, gostei muito de você ter ensinado esse novo método. É sem dúvida muito mais rápido. Aqui abaixo vai o desenvolvimento do número 1, que você falou.

• [tex3]\begin{array}{l}
  \sqrt {a_1 a_2 a_3 a_4 +R^4}=\\
  \sqrt {a_1 (a_1+ R)(a_1+2R)(a_1+3R)+R^4} =\\
  \sqrt {(a_1^2 + 3a_1 R)(a_1^2 + 3a_1 R + 2R^2 ) + R^4 }=\\
  \sqrt {(a_1^2 + 3a_1 R)^2 + (a_1^2 + 3a_1 R)2R^2 + R^4 }
  \end{array}[/tex3]

Observa-se que a última expressão é um trinômio quadrado perfeito. Então:

• [tex3]\begin{array}{l}
  \sqrt {(a_1^2 + 3a_1 R)^2 + (a_1^2 + 3a_1 R)2R^2 + R^4 } = \sqrt {(a_1^2 + 3a_1 R + R^2 )^2 } = a_1^2 + 3a_1 R + R^2 \end{array}[/tex3]

Então a expressão acima nos dá a raiz quadrada pedida, satisfazendo às condições indicadas pelo Rogério. Observemos o exercício agora:

• [tex3]\begin{array}{l}
  \sqrt {31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 + ( - 1)^4 } \\
  a_1 = 31 \\
  R = - 1 \\
  \text{Ent\tilde{a}o: }\sqrt {31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 + ( - 1)^4 } = 31^2 + 3 \cdot 31 \cdot ( - 1) + ( - 1)^2 = 961 - 93 + 1 = 869
  \end{array}[/tex3]

Simplesmente perfeito. Valeu Rogério!

[Rogério Moraes]

Olá Diego,

O seu desenvolvimento está ótimo. Você somente cometeu um pequeno deslize, pois [tex3]\sqrt{x^2} = |x|,[/tex3] para todo [tex3]x \in \mathbb{R}.[/tex3]

Sendo assim, o correto é:

• [tex3]\sqrt{a_1 a_2 a_3 a_4 + R^4} = |a_1^2 + 3a_1 R + R^2|[/tex3] (i)

Para comprovar que o módulo é essencial, veja o seguinte exemplo:

Calcule [tex3]\sqrt{3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) + 16}[/tex3] pela fórmula em (i).

• [tex3]a_1 = 3[/tex3], [tex3]R = -2[/tex3] e [tex3]R^4 = (-2)^4 = 16,[/tex3] logo:

• [tex3]\sqrt{3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) + 16} = |3^2 + 3 \cdot 3 \cdot (-2) + (-2)^2| = |9 - 18 + 4| = |-5| = 5[/tex3]

Observe que sem o módulo, o resultado seria [tex3]{-}5[/tex3] ao invés de [tex3]5,[/tex3] que é o valor correto.

A fórmula também pode ser escrita como segue:

• [tex3]\sqrt{a_1 a_2 a_3 a_4 + R^4} = |(a_1 + R)^2 + a_1 R|[/tex3]

Veja como fica mais simples resolver as questões com a fórmula escrita deste modo:

• [tex3]\sqrt{31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 + 1} =\sqrt{31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 + (-1)^4} = |[31 + (-1)]^2 + 31 \cdot (-1)| = |30^2 - 31| = |900 - 31| = 869[/tex3]

• [tex3]\sqrt{93 \cdot 100 \cdot 107 \cdot 114 + 2401} =\\
  \sqrt{93 \cdot 100 \cdot 107 \cdot 114 + 7^4} =\\
  |(93 + 7)^2 + 93 \cdot 7| =\\
  |100^2 + 651| =\\
  |10000 + 651| =\\
  10651.[/tex3]

[DiegoNunes]

Viva o módulo. Obrigado pela correção.